Determine as características das seguintes matrizes:
a)
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A = 1 & -2 & 3 2 & 2 & 1 2 & -4 & 6
e pede suas características: determinante, posto, traço, polinômio característico, autovalores e autovetores.
Passo 2
Observamos dependência linear entre as linhas: a terceira linha é exatamente 2 vezes a primeira, pois
2cdot(1,,-2,,3) = (2,,-4,,6)
Logo as linhas não são independentes.
Passo 3
Como há dependência linear, segue-se que
e o posto de é
Passo 4
O traço de é a soma dos elementos da diagonal principal:
Passo 5
Para montar o polinômio característico chiA(lambda)=det(A - lambda I), precisamos também do coeficiente de lambda. Esse coeficiente é a soma dos determinantes dos menores principais de ordem 2:
As raízes são lambda=0 e as raízes da equação quadrática lambda^2 -9lambda +22=0, cujo discriminante é De<a = 81 -88 = -7.
Portanto
lambda = 9 pm iraiz72
Passo 8
Para lambda=0 resolvemos A x=0. Das duas primeiras equações
x1 -2x2 +3x3=0, 2x1+2x2 +x3=0
vem x2 = tfrac56x3, x1 = -tfrac43x3.
Uma base do núcleo é, por exemplo,
l(-8,,5,,6)r
Passo 9
Como os três autovalores são distintos (um zero e dois complexos conjugados), A é diagonalizável sobre C mas não sobre R.
Resposta
determinante:
posto:
traço:
polinômio característico:
autovalores:
autovetor para :
diagonalizável sobre , não diagonalizável sobre .
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 429.a