Determine as características das seguintes matrizes:
a) [rrr1 & -2 & 3 2 & 2 & 1 2 & -4 & 6]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & -2 & 3 2 & 2 & 1 2 & -4 & 6
e pede suas características: determinante, posto, traço, polinômio característico, autovalores e autovetores.

Passo 2

Observamos dependência linear entre as linhas: a terceira linha é exatamente 2 vezes a primeira, pois
2cdot(1,,-2,,3) = (2,,-4,,6)
Logo as linhas não são independentes.

Passo 3

Como há dependência linear, segue-se que
e o posto de é

Passo 4

O traço de é a soma dos elementos da diagonal principal:

Passo 5

Para montar o polinômio característico
chiA(lambda)=det(A - lambda I), precisamos também do coeficiente de lambda. Esse coeficiente é a soma dos determinantes dos menores principais de ordem 2:
De<a1 = det1 & -22 & 2=6, De<a2 = det1 & 32 & 6=0, De<a3 = det2 & 1-4 & 6=16
Logo a soma é 6 + 0 + 16 = 22.

Passo 6

O polinômio característico fica
Multiplicando por , obtemos
Fatorando aparece

Passo 7

As raízes são
lambda=0 e as raízes da equação quadrática
lambda^2 -9lambda +22=0, cujo discriminante é
De<a = 81 -88 = -7.
Portanto
lambda = 9 pm iraiz72

Passo 8

Para lambda=0 resolvemos A x=0. Das duas primeiras equações
x1 -2x2 +3x3=0, 2x1+2x2 +x3=0
vem x2 = tfrac56x3, x1 = -tfrac43x3.
Uma base do núcleo é, por exemplo,
l(-8,,5,,6)r

Passo 9

Como os três autovalores são distintos (um zero e dois complexos conjugados), A é diagonalizável sobre C mas não sobre R.

Resposta

determinante:
posto:
traço:
polinômio característico:
autovalores:
autovetor para :
diagonalizável sobre , não diagonalizável sobre .

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