Utilizando o teorema de Rouché-Capelli, classifique os seguintes sistemas:
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema linear
x - 2y + z = 5, 3x - y - 2z = 3, x - y - z = 0,
com três incógnitas (x,y,z). Para classificar usando o teorema de Rouché-Capelli, lembramos que:
– Se rank(A)=rank([Amid b]), o sistema é possível;
– Se rank(A)<rank([Amid b]), é impossível;
– Ainda, se ele for possível e rank(A) for igual ao número de incógnitas, é determinato (solução única); se for menor, é indeterminado (infinitas soluções).
Passo 2
Montamos a matriz de coeficientes
A = 1 & -2 & 1 3 & -1 & -2 1 & -1 & -1
e calculamos seu determinante. Usando expansão por cofatores na primeira linha:
Como A é invertível (det(A)neq0), a coluna de termos independentes b fica dentro do espaço gerado pelas colunas de A. Assim
rank([Amid b]) = rank(A) = 3
Passo 4
Comparando com o número de incógnitas (que é 3), temos
rank(A)=rank([Amid b])=3 e 3=número de incógnitas úó
Portanto o sistema é possível e determinado, ou seja, tem solução única.
Resposta
O sistema é possível e determinado (tem solução única).
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 439.c