Utilizando o teorema de Rouché-Capelli, classifique os seguintes sistemas:
rx-2 y+z=5 3 x-y-2 z=3 x-y-z=0

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
x - 2y + z = 5, 3x - y - 2z = 3, x - y - z = 0,
com três incógnitas (x,y,z). Para classificar usando o teorema de Rouché-Capelli, lembramos que:
– Se rank(A)=rank([Amid b]), o sistema é possível;
– Se rank(A)<rank([Amid b]), é impossível;
– Ainda, se ele for possível e rank(A) for igual ao número de incógnitas, é determinato (solução única); se for menor, é indeterminado (infinitas soluções).

Passo 2

Montamos a matriz de coeficientes
A = 1 & -2 & 1 3 & -1 & -2 1 & -1 & -1
e calculamos seu determinante. Usando expansão por cofatores na primeira linha:
det(A) =1cdotdet-1 & -2-1 & -1 -(-2)cdotdet3 & -21 & -1 +1cdotdet3 & -11 & -1
Calculando cada menor:
det-1 & -2-1 & -1 =(-1)(-1)-(-2)(-1)=1-2=-1,
det3 & -21 & -1 =3cdot(-1)-(-2)cdot1=-3+2=-1,
det3 & -11 & -1 =3cdot(-1)-(-1)cdot1=-3+1=-2
Logo,
det(A) = 1cdot(-1) -(-2)cdot(-1) +1cdot(-2) = -1 -2 -2 = -5 neq 0
Como det(A)neq0, concluímos que rank(A)=3.

Passo 3

Agora consideramos a matriz aumentada
[Amid b] = 1 & -2 & 1 & 5 3 & -1 & -2 & 3 1 & -1 & -1 & 0
Como A é invertível ( det(A)neq0), a coluna de termos independentes b fica dentro do espaço gerado pelas colunas de A. Assim
rank([Amid b]) = rank(A) = 3

Passo 4

Comparando com o número de incógnitas (que é 3), temos
rank(A)=rank([Amid b])=3 e 3=número de incógnitas úó
Portanto o sistema é possível e determinado, ou seja, tem solução única.

Resposta

O sistema é possível e determinado (tem solução única).

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