Determine as características das seguintes matrizes:
h) [rrrr1 & -1 & 1 & 1 2 & 3 & 1 & 0 1 & 2 & 1 & 0 3 & 1 & 2 & 3]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & -1 & 1 & 1 2 & 3 & 1 & 0 1 & 2 & 1 & 0 3 & 1 & 2 & 3
e pede suas características principais: determinante, posto, traço e se é invertível. Vamos usar operações elementares para escalonar e extrair essas quantidades.

Passo 2

Escalonamos A com operações que não alteram o determinante (somar múltiplos de uma linha em outra):
R2& R2 - 2R1, R3 R3 - R1, R4 R4 - 3R1
1 & -1 & 1 & 1 0 & 5 & -1 & -2 0 & 3 & 0 & -1 0 & 4 & -1 & 0
Em seguida, eliminamos abaixo de 5 na segunda coluna:
R3 R3 - tfrac35R2, R4 R4 - tfrac45R2
1 & -1 & 1 & 1 0 & 5 & -1 & -2 0 & 0 & tfrac35 & tfrac15 0 & 0 & -tfrac15 & tfrac85
Por fim, zeramos o elemento -tfrac15 na terceira coluna de R4 somando tfrac13,R3:
R4 R4 + tfrac13R3 ;Longrightarrow; 1 & -1 & 1 & 1 0 & 5 & -1 & -2 0 & 0 & tfrac35 & tfrac15 0 & 0 & 0 & tfrac53

Passo 3

Na matriz triangular obtida, os pivôs são 1, 5, tfrac35 e tfrac53.
  • O posto de A é o número de pivôs não nulos, logo
posto(A)=4
  • Como nenhuma operação trocou linhas nem multiplicou linhas por escalar, o determinante é o produto dos pivôs:
det(A)=1cdot 5cdot 35cdot 53=5

Passo 4

  • O traço de A é a soma dos elementos da diagonal principal na forma original:
tr(A)=1+3+1+3=8
  • Como det(A)=5neq 0, A é invertível.

Resposta

posto ,(A)=4
det(A)=5
tr(A)=8
A é invertível.

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