Determine p de modo que o sistema tenha soluções próprias.
r -x+2 y+z=0 p x+y-z=0 2 p x+2 y+3 z=0

Passo 1

O enunciado pede para achar o valor de p tal que o sistema homogêneo
-x + 2y + z = 0, px + y - z = 0, 2p,x + 2y + 3z = 0
tenha solução não trivial (soluções próprias). Para um sistema homogêneo, isso ocorre exatamente quando a matriz dos coeficientes é singular, ou seja, seu determinante é zero.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes
A = -1 & 2 & 1 p & 1 & -1 2p & 2 & 3
e calculamos det(A) pela regra de Sarrus ou pela expansão de Laplace na primeira linha:
det(A) = -1 cdot det1 & -1 2 & 3 - 2 cdot detp & -1 2p & 3 + 1 cdot detp & 1 2p & 2

Passo 3

Calculamos cada menor
det1 & -1 2 & 3 = 1cdot 3 - (-1)cdot 2 = 3 + 2 = 5,
detp & -1 2p & 3 = pcdot 3 - (-1)cdot 2p = 3p +2p =5p,
detp & 1 2p & 2 = pcdot 2 - 1cdot 2p = 2p -2p = 0

Passo 4

Substituindo esses valores em det(A), obtemos
det(A) = -1 cdot 5 ;-; 2 cdot (5p) ;+; 1 cdot 0 = -5 -10p
Para ter solução própria, precisamos de det(A)=0, ou seja
-5 -10p = 0 Longrightarrow 10p = -5 Longrightarrow p = -tfrac12

Resposta

p = -tfrac12.

Exercícios de Livros Relacionados