a) O que é característica de uma matriz?
b) Qual é a característica da matriz abaixo?
[llll 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 1

O enunciado pede:
a) definir o que é a característica de uma matriz;
b) calcular a característica da matriz
A= 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1
O conteúdo é o polinômio característico de uma matriz, que usamos para encontrar seus autovalores. Para isso vamos precisar montar A menos um escalar vezes a identidade e calcular o determinante.

Passo 2

A definição de polinômio característico de AinR^ntimes n é
p(lambda)=det(lambda I - A),
onde I é a matriz identidade de ordem n. As raízes de p(lambda) são os autovalores de A.

Passo 3

Montamos lambda I - A. Para A dado, com I=I4, temos
lambda I - A = lambda-1 & 0 & 0 & 0 0 & lambda-1 & 0 & 0 0 & -1 & lambda& 0 0 & 0 & 0 & lambda-1
Observe que há blocos: entradas (1,1), (4,4) são lambda-1, e o subbloco 2times 2 das linhas e colunas 2 e 3 é
l[lambda-1&0-1&lambdar].

Passo 4

O determinante de lambda I - A fatora-se em
det(lambda I - A) =(lambda-1),detlambda-1&0-1&lambda,(lambda-1)
Calculemos o 2times 2:
detlambda-1&0-1&lambda =(lambda-1)cdotlambda - 0cdot(-1) =lambda(lambda-1)

Passo 5

Substituindo no produto, obtemos
p(lambda) =(lambda-1),l[lambda(lambda-1)r],(lambda-1) =lambda,(lambda-1)^3
Esse é o polinômio característico de A.

Resposta

(a) A característica de uma matriz A é o seu polinômio característico, definido por
p(lambda)=det(lambda I - A),
cujas raízes são os autovalores de A.
(b) Para a matriz dada,
p(lambda)=lambda,(lambda-1)^3

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