Determine as características das seguintes matrizes:
g) [rrrr1 & 0 & 2 & 0 -2 & 3 & 0 & 1 4 & -2 & 1 & 3]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & 0 & 2 & 0 -2 & 3 & 0 & 1 4 & -2 & 1 & 3
de formato 3times4 e pede suas características principais: posto (rank), nulidade (dimensão do núcleo) e bases dos espaços associados (espaço‐linha, espaço‐coluna e núcleo). Vamos usar eliminação de Gauss e o teorema posto‐nulidade.

Passo 2

Aplicamos operações elementares para chegar à forma escalonada:
1. R2 R2 +2R1, R3 R3-4R1
1 & 0 & 2 & 0 0 & 3 & 4 & 1 0 & -2 & -7 & 3
2. R3 R3 +tfrac23R2
1 & 0 & 2 & 0 0 & 3 & 4 & 1 0 & 0 & -tfrac133 & tfrac113
Já vemos 3 pivôs (colunas 1, 2 e 3).

Passo 3

Como há três pivôs,
rank(A)=3
Pela relação de posto‐nulidade para matrizes 3times4:
dimker(A)=4-rank(A)=4-3=1

Passo 4

Para achar uma base de
Da terceira equação vem , obtemos
logo uma base de é

Passo 5

Bases dos outros espaços:
  • Espaço-coluna: colunas de A correspondentes aos pivôs, i.e. as colunas 1, 2 e 3 de A:
    (1,-2,4),,(0,3,-2),,(2,0,1)
  • Espaço-linha: linhas não nulas na forma escalonada, i.e.
    (1,0,2,0),,(0,3,4,1),,(0,0,-tfrac133,tfrac113)

Resposta

rank(A)=3 dimker(A)=1 com base (-22,-19,11,13)
Base do espaço-coluna: (1,-2,4),,(0,3,-2),,(2,0,1)
Base do espaço-linha: (1,0,2,0),,(0,3,4,1),,(0,0,-133,113)

Exercícios de Livros Relacionados