Determine as características das seguintes matrizes:
g)
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A = 1 & 0 & 2 & 0 -2 & 3 & 0 & 1 4 & -2 & 1 & 3
de formato 3times4 e pede suas características principais: posto (rank), nulidade (dimensão do núcleo) e bases dos espaços associados (espaço‐linha, espaço‐coluna e núcleo). Vamos usar eliminação de Gauss e o teorema posto‐nulidade.
Passo 2
Aplicamos operações elementares para chegar à forma escalonada: 1. R2 R2 +2R1, R3 R3-4R1
Pela relação de posto‐nulidade para matrizes 3times4:
dimker(A)=4-rank(A)=4-3=1
Passo 4
Para achar uma base de
Da terceira equação vem , obtemos
logo uma base de é
Passo 5
Bases dos outros espaços:
Espaço-coluna: colunas de A correspondentes aos pivôs, i.e. as colunas 1, 2 e 3 de A: (1,-2,4),,(0,3,-2),,(2,0,1)
Espaço-linha: linhas não nulas na forma escalonada, i.e. (1,0,2,0),,(0,3,4,1),,(0,0,-tfrac133,tfrac113)
Resposta
rank(A)=3dimker(A)=1 com base (-22,-19,11,13)
Base do espaço-coluna: (1,-2,4),,(0,3,-2),,(2,0,1)
Base do espaço-linha: (1,0,2,0),,(0,3,4,1),,(0,0,-133,113)
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 429.g