Utilizando o teorema de Rouché-Capelli, classifique e resolva os seguintes sistemas:
l x+y+z=2 x-y+z=2 x+2 y+z=-1

Passo 1

O sistema dado é
x + y + z = 2, x - y + z = 2, x + 2y + z = -1
Queremos classificar sua compatibilidade usando o teorema de Rouché-Capelli, isto é, comparar o posto da matriz dos coeficientes A com o posto da matriz ampliada [Amid b]. Se rank(A)=rank([Amid b])<3, há infinitas soluções; se rank(A)=rank([Amid b])=3, há solução única; se rank(A)<rank([Amid b]), o sistema é incompatível.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes e a matriz ampliada:
A = 1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 1 & 2 & 1 , [Amid b] = 1 & 1 & 1 & 2 1 & -1 & 1 & 2 1 & 2 & 1 & -1

Passo 3

Calculamos det(A) para ver se o posto de A pode ser 3:
det(A) =1cdotdet-1 & 12 & 1 -1cdotdet1 & 11 & 1 +1cdotdet1 & -11 & 2 =-3-0+3=0
Como det(A)=0, rank(A)<3. Para achar o posto exato, basta encontrar um menor 2times2 não nulo. Por exemplo, das colunas 1 e 2 nas duas primeiras linhas:
det1 & 11 & -1 = -1 - 1 = -2 neq 0,
logo rank(A)=2.

Passo 4

Agora verificamos se a matriz ampliada tem posto maior. Escolhemos o menor 3times3 formado pelas colunas 1, 2 e 4 de [Amid b]:
det 1 & 1 & 2 1 & -1 & 2 1 & 2 & -1 =1cdot(-1cdot(-1)-2cdot2)-1cdot(1cdot(-1)-2cdot1)+2cdot(1cdot2-(-1)cdot1) =-3+3+6=6neq0
Portanto rank([Amid b])=3.

Resposta

Como rank(A)=2 e rank([Amid b])=3, o sistema é incompatível e não possui solução.

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