Utilizando o teorema de Rouché-Capelli, classifique e resolva os seguintes sistemas:
Passo 1
O sistema dado é
x + y + z = 2, x - y + z = 2, x + 2y + z = -1
Queremos classificar sua compatibilidade usando o teorema de Rouché-Capelli, isto é, comparar o posto da matriz dos coeficientes A com o posto da matriz ampliada [Amid b]. Se rank(A)=rank([Amid b])<3, há infinitas soluções; se rank(A)=rank([Amid b])=3, há solução única; se rank(A)<rank([Amid b]), o sistema é incompatível.
Passo 2
Escrevemos a matriz dos coeficientes e a matriz ampliada:
Como det(A)=0, rank(A)<3. Para achar o posto exato, basta encontrar um menor 2times2 não nulo. Por exemplo, das colunas 1 e 2 nas duas primeiras linhas:
det1 & 11 & -1 = -1 - 1 = -2 neq 0,
logo rank(A)=2.
Passo 4
Agora verificamos se a matriz ampliada tem posto maior. Escolhemos o menor 3times3 formado pelas colunas 1, 2 e 4 de [Amid b]:
Como rank(A)=2 e rank([Amid b])=3, o sistema é incompatível e não possui solução.
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 438.d