Determine os valores de k para que o sistema tenha solução única.
r x-z=1 k x+y+3 z=0 x+k y+3 z=1

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear de três equações e três incógnitas
x - z = 1, k x + y + 3z = 0, x + k y + 3z = 1,
e pede para determinar os valores de k para que haja solução única.
O conteúdo principal aqui é resolver sistemas lineares usando determinante da matriz dos coeficientes: há solução única se, e somente se, o determinante dessa matriz for diferente de zero.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes A e o vetor de termos independentes b:
A = 1 & 0 & -1 k & 1 & 3 1 & k & 3 , b = 101
A condição para solução única é
det(A)neq0

Passo 3

Vamos calcular pela expansão na primeira linha:
Agora os menores:
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Passo 4

Reescrevemos det(A) em forma fatorada:
4 - 3k - k^2 = -(k^2 + 3k -4) =-(k+4)(k-1)
Portanto
det(A)=-(k+4)(k-1)
Para haver solução única precisamos de det(A)neq0, isto é
-(k+4)(k-1)neq0 Long<=ftrightarrow kneq -4 e kneq 1

Resposta

Os valores de k para que o sistema tenha solução única são todos os reais, exceto
k = -4 e k = 1

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