Determine o centro e o raio das circunferências de equações dadas.
(x{2}+y{2}+x-6 y-15 / 4=0).

Passo 1

O enunciado dá a equação da circunferência
x^2+y^2+x-6y-tfrac154=0
e pede para achar o centro e o raio. Vamos usar o método de completar quadrados, que consiste em agrupar termos em x e em y, transformar cada grupo num quadrado perfeito e ajustar os constantes.

Passo 2

Reescrevendo a equação, isolamos os termos quadráticos e lineares de x e de y:
x^2+x ;+; y^2-6y ;=;tfrac154

Passo 3

Completamos o quadrado em x e em y separadamente:
Para x:
x^2+x = l(x+tfrac12r)^2-tfrac14
Para y:
y^2-6y = (y-3)^2-9
Substituindo esses resultados na equação, obtemos
l(x+tfrac12r)^2-tfrac14 ;+;(y-3)^2-9 ;=;tfrac154

Passo 4

Somamos as constantes de um lado e passamos para o outro:
-tfrac14-9 = -tfrac374,
então
l(x+tfrac12r)^2+(y-3)^2 =tfrac154+tfrac374 =tfrac524 =13
Isso está na forma padrão
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
com h=-tfrac12, k=3 e r^2=13.

Resposta

O centro é l(-tfrac12,,3r) e o raio é raiz13.

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