Verifique se a equação dada representa uma circunferência. Em caso afirmativo, determine seus raio e centro.
(x{2}+y{2}+7 x-y+1=0).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação
x^2+y^2+7x - y + 1 = 0
é uma circunferência. Lembra que uma circunferência fica na forma padrão
(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2,
onde (a,b) é o centro e r o raio. Para chegar lá, vamos usar completar quadrados em x e em y.

Passo 2

Separamos as partes em x e em y e completamos o quadrado:
x^2+7x = l(x + tfrac72r)^2 - l(tfrac72r)^2
y^2-y = l(y - tfrac12r)^2 - l(tfrac12r)^2

Passo 3

Substituindo essas identidades na equação original, temos
l(x + tfrac72r)^2 - tfrac494 ;+; l(y - tfrac12r)^2 - tfrac14 ;+;1 ;=;0
Isolando os quadrados,
l(x + tfrac72r)^2 + l(y - tfrac12r)^2 = tfrac494 + tfrac14 - 1 = tfrac504 - tfrac44 = tfrac464 = tfrac232

Passo 4

Como o lado direito tfrac232 é positivo, isso confirma que é uma circunferência na forma
(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2
com
a = -tfrac72, b = tfrac12, r = raiztfrac232

Resposta

A equação representa uma circunferência de centro l(-tfrac72,,tfrac12r) e raio raiztfrac232.

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