Determine o centro, os vértices, os focos e a excentricidade de cada uma das seguintes elipses:
2(x+2)^2+(y-1)^2=2;

Passo 1

O enunciado pede o centro, os vértices, os focos e a excentricidade da elipse
2(x+2)^2+(y-1)^2=2
O conteúdo é identificar a forma padrão
(x-h)^2a^2+(y-k)^2b^2=1,
encontrar os semieixos a,b, calcular c via c^2=a^2-b^2 e a excentricidade e=c/a.

Passo 2

Dividindo a equação dada por 2, obtemos a forma padrão:
(x+2)^21+(y-1)^22=1
Aqui os denominadores são 1 e 2. Como 2>1, temos
a^2=2, b^2=1

Passo 3

O centro da elipse é o par (h,k)=(-2,1).
Os semieixos são
a=raiz2(maior, na direção vertical), b=1(menor, na direção horizontal) çãçã
Logo, os vértices principais (eixo maior) são
(-2,;1pmraiz2),
e os vértices secundários (eixo menor) são
(-2pm1,;1),

Passo 4

Calculamos
c^2=a^2-b^2=2-1=1 Longrightarrow c=1
Os focos ficam no eixo maior, a uma distância c do centro:
(-2,;1pm1)

Passo 5

A excentricidade da elipse é
e=ca=1raiz2

Resposta

Centro: (-2,1)
Vértices principais: l(-2,,1+raiz2r), l(-2,,1-raiz2r)
Vértices secundários: l(-1,,1r), l(-3,,1r)
Focos: l(-2,,2r), l(-2,,0r)
Excentricidade: e=tfrac1raiz2

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