Determine a equação da elipse:
com excentricidade e=1 / 5 e as extremidades do eixo menor em 0, pm 10 ).

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma elipse centrada na origem, com excentricidade e=tfrac15 e cujas extremidades do eixo menor estão em (0,pm10). O conteúdo envolve conhecer as relações entre os semi-eixos a (maior), b (menor) e a distância focal c, onde
e = ca,
c^2 = a^2 - b^2

Passo 2

Para uma elipse de eixo maior no eixo x e menor no eixo y, a forma canônica é
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Aqui a> b>0, e as focos ficam em (pm c,0).

Passo 3

Da excentricidade ,e=tfrac15 segue
c = e,a = a5 Longrightarrow c^2 = a^225

Passo 4

As extremidades do eixo menor em (0,pm10) dão
b = 10 Longrightarrow b^2 = 100

Passo 5

Usando c^2 = a^2 - b^2 e substituindo c^2 = tfraca^225, b^2=100, temos
a^2 - 100 = a^225 Longrightarrow 25,a^2 - 2500 = a^2 Longrightarrow 24,a^2 = 2500 Longrightarrow a^2 = 250024 = 6256

Passo 6

Substituindo a^2=tfrac6256 e b^2=100 na forma canônica, obtemos
x^2tfrac6256 + y^2100 = 1
Multiplicando ambos os lados por 600 leva à forma com coeficientes inteiros:
24,x^2 + 25,y^2 = 2500

Resposta

24x^2 + 25y^2 = 2500

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