Determine cinco números racionais em P.G., sabendo que sua soma é 1213 e seu produto é 243.

Passo 1

O enunciado pede cinco números racionais em progressão geométrica (P.G.) cuja soma é tfrac1213 e cujo produto é 243. Para resolver, vamos usar as fórmulas da soma de uma P.G. finita de cinco termos e do produto desses termos.

Passo 2

Seja a P.G.
a,;ar,;ar^2,;ar^3,;ar^4
com primeiro termo a e razão r.
A soma desses cinco termos é
S = a,(1 + r + r^2 + r^3 + r^4),
e o produto é
P = acdot arcdot ar^2cdot ar^3cdot ar^4 = a^5,r^1+2+3+4 = a^5,r^10

Passo 3

Pelas condições do problema,
a,(1 + r + r^2 + r^3 + r^4) ;=;1213,
a^5,r^10 ;=;243 = 3^5
Observamos que, se r=3, então
1 + 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 = 1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121
Substituindo na soma, fica
acdot 121 = 1213 Longrightarrow a = tfrac1213121 = 13

Passo 4

Verificamos o produto com a=tfrac13 e r=3:
a^5,r^10 = l(tfrac13r)^5 cdot 3^10 = 3^-5cdot 3^10 = 3^5 = 243,
como exigido.

Resposta

Os cinco termos da progressão geométrica são
13,;1,;3,;9,;27

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