Calcule a soma dos termos das seguintes sequências:
Determine o valor da soma S=1+34+716+1564+ldots+2^n-12^2 n-2+ldots
Sugestão: Decomponha o termo geral e use a fórmula da soma.

Passo 1

O enunciado pede a soma infinita
S = 1 + 34 + 716 + 1564 + cdots = sumn=1^infty 2^n-12^2n-2
O conteúdo principal é soma de séries geométricas. Vamos decompor o termo geral para expressar S como diferença de duas séries geométricas.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral 2^n-12^2n-2. Note que
2^2n-2 = 2^2n2^2 = 2^2n4,
portanto
2^n-12^2n-2 = 2^n-12^2n/4 =4l(2^n/2^2n - 1/2^2nr) =4l(2^-n - 2^-2nr)

Passo 3

Substituindo na soma, temos
S = sumn=1^infty4l(2^-n - 2^-2nr) =4sumn=1^infty2^-n;-;4sumn=1^infty2^-2n

Passo 4

Cada uma é série geométrica:
  • sumn=1^infty2^-n tem primeiro termo 2^-1 e razão 1/2, logo
sumn=1^infty2^-n =2^-11-tfrac12 =tfrac12tfrac12 =1
  • sumn=1^infty2^-2n tem primeiro termo 2^-2=tfrac14 e razão 1/4, logo
sumn=1^infty2^-2n =tfrac141-tfrac14 =tfrac14tfrac34 =13

Passo 5

Substituindo esses resultados em S, vem
S = 4l(1 - tfrac13r) =4cdot 23 =83

Resposta

boxed83

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