Classifique as sentenças abaixo em verdadeira (V) ou falsa (F):
a) Na P.G. em que a1>0 e q >0, todos os termos são positivos.
b) Na P.G. em que a1<0 e q > 0, todos os termos são negativos.
c) Na P.G. em que a1>0 eq <0, todos os termos são negativos.
d) Na P.G. em que a1<0 e q <0, todos os termos são negativos.
e) Na P.G. de números reais em que q<0 e a1 neq 0, os sinais dos termos são alternados, isto é, a P.G. é alternante.
f) Na P.G. alternante, todos os termos de índice ímpar têm o sinal de a1 e os de índice par têm sinal contrário ao de a1.
g) Se uma P.G. formada com números reais apresenta dois termos com sinais contrários, então a P.G. é alternante.
h) Existe uma P.G. de números reais em que a3>0 e a21<0.
i) Existe uma P.G. de números reais em que a1>0 e a20<0.
j) Se q > 0, a P.G. é crescente.
k) Se a1>0 e q > 0, a P.G. é crescente.
I) Se q > 1, a P.G. é crescente.

Passo 1

O enunciado pede para classificar cada afirmação sobre progressão geométrica (PG) como verdadeira ou falsa. Vamos usar o termo geral de uma PG, a análise de sinais dos termos e as condições de monotonicidade para resolver.

Passo 2

O termo geral de uma PG é dado por
an = a1,q^,n-1
Logo, sgn(an)=sgn(a1)timessgn(q)^,n-1. Para monotonicidade, lembramos que: se a1>0 então an é crescente somente quando q>1.

Passo 3

Se q>0 então sgn(an)=sgn(a1) para todo n.
Assim,
a) com a1>0 e q>0 todos os an>0. to V
b) com a1<0 e q>0 todos os an<0. to V

Passo 4

Se q<0 então sgn(an) alterna conforme n.
c) com a1>0 e q<0 nem todos os termos são negativos. to F
d) com a1<0 e q<0 nem todos os termos são negativos. to F

Passo 5

Por definição, PG com q<0 é alternante, e isso implica:
e) “ q<0 e a1neq0 implies sinais alternam” to V
f) “em PG alternante, índices ímpares têm sinal de a1 e pares o sinal contrário” to V

Passo 6

g) Se existem dois termos com sinais opostos, então foi necessário q<0, e isso faz a PG alternante. to V

Passo 7

h) Queremos a3>0 e a21<0. Como
a3=a1q^2>0e a21=a1q^20<0,
teríamos a1>0 e q^20>0, logo a21>0. Contradição. to F

Passo 8

i) Queremos a1>0 e a20<0. Isso exige
a20=a1q^19<0implies q^19<0implies q<0,
o que é possível. to V

Passo 9

Para monotonicidade:
j) “ q>0 implies PG crescente”? Nem sempre (se 0<q<1 é decrescente). to F
k) “ a1>0 e q>0 implies PG crescente”? Também não (mesmo contraexemplo 0<q<1). to F
l) “ q>1 implies PG crescente”? Só se a1>0; se a1<0 ela é decrescente. to F

Resposta

a) V
b) V
c) F
d) F
e) V
f) V
g) V
h) F
i) V
j) F
k) F
l) F

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