Classifique as sentenças abaixo em verdadeira (V) ou falsa (F):
a) Na P.G. em que
e q
, todos os termos são positivos.
b) Na P.G. em que
e q > 0, todos os termos são negativos.
c) Na P.G. em que
eq
, todos os termos são negativos.
d) Na P.G. em que
e q
, todos os termos são negativos.
e) Na P.G. de números reais em que
e
, os sinais dos termos são alternados, isto é, a P.G. é alternante.
f) Na P.G. alternante, todos os termos de índice ímpar têm o sinal de
e os de índice par têm sinal contrário ao de
.
g) Se uma P.G. formada com números reais apresenta dois termos com sinais contrários, então a P.G. é alternante.
h) Existe uma P.G. de números reais em que
e
.
i) Existe uma P.G. de números reais em que
e
.
j) Se q > 0, a P.G. é crescente.
k) Se
e q > 0, a P.G. é crescente.
I) Se q > 1, a P.G. é crescente.
a) Na P.G. em que
b) Na P.G. em que
c) Na P.G. em que
d) Na P.G. em que
e) Na P.G. de números reais em que
f) Na P.G. alternante, todos os termos de índice ímpar têm o sinal de
g) Se uma P.G. formada com números reais apresenta dois termos com sinais contrários, então a P.G. é alternante.
h) Existe uma P.G. de números reais em que
i) Existe uma P.G. de números reais em que
j) Se q > 0, a P.G. é crescente.
k) Se
I) Se q > 1, a P.G. é crescente.
Passo 1
O enunciado pede para classificar cada afirmação sobre progressão geométrica (PG) como verdadeira ou falsa. Vamos usar o termo geral de uma PG, a análise de sinais dos termos e as condições de monotonicidade para resolver.
Passo 2
O termo geral de uma PG é dado por
Logo,
. Para monotonicidade, lembramos que: se
então
é crescente somente quando
.
Passo 3
Se
então
para todo
.
Assim,
a) com e
todos os
.
V
b) com e
todos os
.
V
Assim,
a) com
b) com
Passo 4
Se
então
alterna conforme
.
c) com e
nem todos os termos são negativos.
F
d) com e
nem todos os termos são negativos.
F
c) com
d) com
Passo 5
Por definição, PG com
é alternante, e isso implica:
e) “ e
sinais alternam”
V
f) “em PG alternante, índices ímpares têm sinal de e pares o sinal contrário”
V
e) “
f) “em PG alternante, índices ímpares têm sinal de
Passo 6
g) Se existem dois termos com sinais opostos, então foi necessário
, e isso faz a PG alternante.
V
Passo 7
h) Queremos
e
. Como
teríamos
e
, logo
. Contradição.
F
Passo 8
i) Queremos
e
. Isso exige
o que é possível.
V
Passo 9
Para monotonicidade:
j) “ PG crescente”? Nem sempre (se
é decrescente).
F
k) “ e
PG crescente”? Também não (mesmo contraexemplo
).
F
l) “ PG crescente”? Só se
; se
ela é decrescente.
F
j) “
k) “
l) “
Resposta
a) V
b) V
c) F
d) F
e) V
f) V
g) V
h) F
i) V
j) F
k) F
l) F
b) V
c) F
d) F
e) V
f) V
g) V
h) F
i) V
j) F
k) F
l) F