Determine o comprimento do anteperíodo e o do período da representação decimal de 1n nos seguintes casos:
n=63

Passo 1

O enunciado pede o comprimento do anteperíodo (parte não periódica) e do período da representação decimal de tfrac1n em base 10, para n=63. O conteúdo é periodicidade de frações decimais: decompomos n em 2^alpha5^beta m e usamos
  • anteperíodo de comprimento max(alpha,beta),
  • período igual à ordem multiplicativa de 10 módulo m.

Passo 2

Fatoramos
63 = 3^2cdot7
logo n=2^0cdot5^0cdot m com m=63. Como alpha=0 e beta=0,
anteperíodo = max(0,0) = 0 í

Passo 3

Para achar a ordem de 10 módulo m em cada fator primo, começamos por 3^2=9. Note que
10 equiv 1 pmod9,
logo a menor k>0 com 10^kequiv1pmod9 é
ord9(10) = 1

Passo 4

Agora em módulo 7 temos
10 equiv 3 pmod7
Calculamos sucessivas potências de 3 até voltar a 1:
3^1equiv3,; 3^2equiv2,; 3^3equiv6,; 3^4equiv4,; 3^5equiv5,; 3^6equiv1pmod7
Logo
ord7(10) = 6
O período de tfrac163 é
lcml(ord9(10),,ord7(10)r) = lcm(1,6) = 6

Resposta

Anteperíodo: 0
Período: 6

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