a) Seja H subset IR um subconjunto não vazio limitado superiormente. Prove que um certo b in R é o supremo de H se, e somente se, dado varepsilon>0, varepsilon in R, as seguintes condiçōes se verificam: i times<b+varepsilon, para todo x in H; ii x>b-varepsilon, para pelo menos um x in H.
b) Enuncie e demonstre uma caracterização semelhante para a=infH, onde H neq varnothing é um subconjunto de IR, limitado inferiormente.

Passo 1

O enunciado trata das noções de supremo e ínfimo de um conjunto é cota superior}),\ \forall c<b:;\exists x\in H:;x>c\quad( é a menor cota superior). \end{cases}]
Queremos provar a caráterização equivalente em termos de . Para isso usaremos argumentos de cotas superiores, definições de supremo e escolhas adequadas de .

Passo 2

Prova de “se b=sup H, então vale a condição forallvarepsilon>0::
Como b é cota superior de H, temos
forall xin H:;x<= b< b+varepsilon,
ou seja, x<b+varepsilon para todo xin H.
Por outro lado, como b é o menor upper bound, qualquer número menor que b não pode ser cota superior. Em particular, para dado varepsilon>0, o número b-varepsilon<b não é cota superior, logo
exists xin H:;x>b-varepsilon

Passo 3

Prova de “se vale a condição forallvarepsilon>0, então b=sup H”:
  1. Mostrar que b é cota superior. Suponha, por absurdo, que exista x0in H com x0>b. Então varepsilon=x0-b>0 e pela hipótese teria x0<b+varepsilon=x0, contradição. Logo forall xin H:x<= b.
  2. Mostrar que é a menor cota superior. Seja c<b. Defina varepsilon=b-c>0. Pela segunda condição existe xin H tal que
x>b-varepsilon=c,
portanto c não é cota superior. Concluímos que b é o menor upper bound, isto é, b=sup H.

Passo 4

Enuncie e demonstre para a=inf H, com Hneqemptyset e limitado inferiormente.
Caracterização desejada:
a=inf H Long<=ftrightarrow forallvarepsilon>0:;forall xin H:;x>a-varepsilon, forallvarepsilon>0:;exists xin H:;x<a+varepsilon
A prova segue o mesmo esquema, invertendo desigualdades e o papel de “cota inferior” e “maior cota inferior”.

Passo 5

Demonstração para a=inf H:
  1. Se a=inf H, então a é cota inferior: forall xin H:x>= a, logo forallvarepsilon>0:x>a-varepsilon. E, por ser o maior lower bound, para todo varepsilon>0, o número a+varepsilon deixa de ser cota inferior, isto é,
    exists xin H:x<a+varepsilon.
  2. Recíproco: suponha as duas condições em varepsilon. Primeiro, se existisse x0in H com x0<a, tomamos varepsilon=a-x0>0 e obteríamos x0>a-varepsilon=x0, absurdo; logo x>= a. Em seguida, se c>a, faça varepsilon=c-a>0; pela segunda condição existe xin H com x<a+varepsilon=c, mostrando que c não é cota inferior. Portanto a é o maior lower bound, ou seja, a=inf H.

Resposta

a) Prova completa da caracterização de b=sup H usando argumentos com varepsilon>0.
b) Análoga caracterização de a=inf H:
a=inf H Long<=ftrightarrow l[forallvarepsilon>0:forall xin H:x>a-varepsilonr] ;wed>=; l[forallvarepsilon>0:exists xin H:x<a+varepsilonr]

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