a) Seja
um subconjunto não vazio limitado superiormente. Prove que um certo
é o supremo de
se, e somente se, dado
, as seguintes condiçōes se verificam:
, para todo
; ii
, para pelo menos um
.
b) Enuncie e demonstre uma caracterização semelhante para
, onde
é um subconjunto de IR, limitado inferiormente.
b) Enuncie e demonstre uma caracterização semelhante para
Passo 1
O enunciado trata das noções de supremo e ínfimo de um conjunto é cota superior}),\ \forall c<b:;\exists x\in H:;x>c\quad(
é a menor cota superior). \end{cases}]
Queremos provar a caráterização equivalente em termos de
. Para isso usaremos argumentos de cotas superiores, definições de supremo e escolhas adequadas de
.
Passo 2
Prova de “se
, então vale a condição
::
Como é cota superior de
, temos
Como
ou seja,
para todo
.
Por outro lado, como é o menor upper bound, qualquer número menor que
não pode ser cota superior. Em particular, para dado
, o número
não é cota superior, logo
Por outro lado, como
Passo 3
Prova de “se vale a condição
, então
”:
- Mostrar que
é cota superior. Suponha, por absurdo, que exista com . Então e pela hipótese teria , contradição. Logo . - Mostrar que é a menor cota superior. Seja
. Defina . Pela segunda condição existe tal que
portanto
não é cota superior. Concluímos que
é o menor upper bound, isto é,
.
Passo 4
Enuncie e demonstre para
, com
e limitado inferiormente.
Caracterização desejada:
Caracterização desejada:
A prova segue o mesmo esquema, invertendo desigualdades e o papel de “cota inferior” e “maior cota inferior”.
Passo 5
Demonstração para
:
- Se
, então é cota inferior: , logo . E, por ser o maior lower bound, para todo , o número deixa de ser cota inferior, isto é,
. - Recíproco: suponha as duas condições em
. Primeiro, se existisse com , tomamos e obteríamos , absurdo; logo . Em seguida, se , faça ; pela segunda condição existe com , mostrando que não é cota inferior. Portanto é o maior lower bound, ou seja, .
Resposta
a) Prova completa da caracterização de
usando argumentos com
.
b) Análoga caracterização de :
b) Análoga caracterização de