Determine a conjunto formado por todos os valores de k de modo que a expressão (k-8) x^2+(k-1) x-1 seja negativa para qualquer walor de x (suponha k neq a).

Passo 1

O enunciado pede os valores de k tais que a expressão (k-8)x^2+(k-1)x-1 seja negativa para todo xinR. Isso é conteúdo de funções quadráticas: para que uma parábola esteja sempre abaixo do eixo x precisamos de (i) coeficiente de x^2 negativo e (ii) discriminante negativo.

Passo 2

O coeficiente de x^2 é k-8. Para a parábola abrir para baixo, exigimos
k-8<0
ou seja
k<8

Passo 3

O discriminante desta quadrática é
De<a=(k-1)^2-4,(k-8),(-1)
Calculando:
De<a=(k-1)^2+4(k-8)=k^2-2k+1+4k-32=k^2+2k-31
Para não haver raízes reais, queremos De<a<0, isto é,
k^2+2k-31<0

Passo 4

A inequação k^2+2k-31<0 tem raízes
k=-2pmraiz4+1242=-1pm4raiz2
Logo ela vale para
-1-4raiz2<k<-1+4raiz2
Como -1+4raiz2approx4,656<8, a condição k<8 já está implícita, e o conjunto solução é
-1-4raiz2<k<-1+4raiz2

Resposta

kinl(-1-4raiz2,,-1+4raiz2r).

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