Determine o conjunto dos valores de (alpha, beta) in R^2 que tornam o sistema
3 x-2 y & =alpha -6 x+4 y & =beta indeterminado

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear em duas incógnitas :
O conteúdo é classificação de sistemas lineares por determinante (ou proporcionalidade de linhas): para o sistema ser indeterminado (infinitas soluções), a matriz de coeficientes deve ser singular e as equações devem ser proporcionais de forma consistente.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes A e o vetor de termos independentes b:
A = 3 & -2 -6 & 4, b = alpha beta
Calculamos o determinante de A:
det(A) = 3cdot 4 - (-2)cdot(-6) = 12 - 12 = 0
Como det(A)=0, o sistema é singular e pode ser ou impossível ou indeterminado.

Passo 3

Para verificar quando ele é indeterminado, observamos que a segunda linha de A é -2 vezes a primeira:
(-6,,4) = -2cdot (3,,-2)
Para que as duas equações sejam efetivamente a mesma, o segundo termo independente beta deve obedecer à mesma proporção:
beta = -2,alpha

Resposta

O sistema é indeterminado exatamente quando
(alpha,beta)inR^2mid beta = -2alpha

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