Discuta o sistema:
r m x+y=1 x+y=2 x-y=m

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear
m,x + y = 1, x + y = 2, x - y = m,
com incógnitas x,y e parâmetro m. O objetivo é discutir para quais valores de m o sistema é compatível (tem solução) e determinar essas soluções.

Passo 2

Começamos resolvendo o sub-sistema formado pelas duas últimas equações:
x + y = 2 e x - y = m.
Somando-as, obtemos
2x = 2 + m
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x = m + 22 .
Em seguida, de x + y = 2 temos
y = 2 - x = 2 - m + 22 = 4 - (m + 2)2 = 2 - m2 .

Passo 3

Agora impomos a primeira equação m,x + y = 1. Substituindo x e y:
mcdotm + 22 ;+;2 - m2 = 1
No numerador fica
m(m+2) + (2-m) = m^2 + 2m + 2 - m = m^2 + m + 2,
portanto
m^2 + m + 22 = 1 Longrightarrow m^2 + m + 2 = 2 Longrightarrow m(m+1)=0
Assim, as únicas possibilidades são m=0 ou m=-1.

Passo 4

Para cada valor de m compatível, recalculamos (x,y):
  • Se m=0, então x=0+22=1, y=2-02=1
  • Se m=-1, então x=-1+22=tfrac12, y=2-(-1)2=tfrac32
Nestes casos a primeira equação fica redundante e o sistema é compatível com solução única. Para todo outro m, a substituição acima não satisfaz m,x+y=1, de modo que o sistema é inconsistente (sem solução).

Resposta

Para m=0: única solução (x,y)=(1,1).
Para m=-1: única solução l(x,yr)=(tfrac12,tfrac32).
Para quaisquer outros valores de m: sistema sem solução.

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