Determine todos os números x reais que satisfazem a equação dada.
\log _{9}(4 x-1)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação logarítmica
\log_{9}(4x-1)=2.
O conteúdo aqui é equação de logaritmo: vamos precisar usar a definição de logaritmo e checar o domínio do argumento.

Passo 2

Impondo o domínio do logaritmo, o argumento precisa ser positivo:
4x - 1 > 0
x > \frac{1}{4}.

Passo 3

Pela definição de logaritmo, se \log_{b}(A)=C então A=b^{C}. Aplicando com b=9, A=4x-1 e C=2, temos
4x - 1 = 9^{2}.

Passo 4

Calculando 9^2 e resolvendo para x:
9^2 = 81,
4x - 1 = 81 \quad\Longrightarrow\quad 4x = 82 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{82}{4} = \frac{41}{2}.

Passo 5

Verificamos o domínio:
\frac{41}{2} > \frac{1}{4},
logo a solução respeita o domínio.

Resposta

A única solução real é
x = \frac{41}{2}.

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