Determine a derivada dy/dx. Em alguns casos, pode ser necessário usar derivação implícita ou derivação logaritmica.
y=\frac{x}{\ln 2 x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \frac{x}{\ln(2x)}.
O conteúdo principal aqui é derivação de quociente e a regra de derivada do logaritmo natural.

Passo 2

Definimos
u(x) = x \quad\text{e}\quad v(x) = \ln(2x).
Pela regra do quociente,
\frac{dy}{dx} = \frac{u' \,v - u\,v'}{[v]^2}.

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v:
u'(x) = 1,
v'(x) = \frac{d}{dx}\bigl[\ln(2x)\bigr] = \frac{1}{2x}\cdot 2 = \frac{1}{x}.

Passo 4

Substituindo em
\frac{dy}{dx} = \frac{1\cdot \ln(2x) - x\cdot\frac{1}{x}}{[\ln(2x)]^2} = \frac{\ln(2x) - 1}{[\ln(2x)]^2}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{\ln(2x) - 1}{[\ln(2x)]^2}.

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