Determine
f(4) sabendo que f(x)=A e^{-k x}, f(0)=10 e f(1)=25.

Passo 1

O enunciado nos dá uma função exponencial do tipo
f(x)=A\,e^{-k x}
com as condições iniciais f(0)=10 e f(1)=25, e pede para encontrar f(4). Vamos usar as propriedades da função exponencial para determinar primeiro os parâmetros A e k.

Passo 2

Usando f(0)=10:
f(0)=A\,e^{-k\cdot0}=A\cdot1=A
Logo,
A=10.

Passo 3

Usando f(1)=25 e substituindo A=10:
f(1)=10\,e^{-k}=25
e^{-k}=\frac{25}{10}=\frac{5}{2}
Aplicando logaritmo natural em ambos os lados:
-k=\ln\!\Bigl(\tfrac{5}{2}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad k=-\ln\!\Bigl(\tfrac{5}{2}\Bigr).

Passo 4

Agora calculamos f(4):
f(4)=10\,e^{-k\cdot4} =10\bigl(e^{-k}\bigr)^{4} =10\Bigl(\tfrac{5}{2}\Bigr)^{4} =10\cdot\frac{625}{16} =\frac{6250}{16} =390{,}625.

Resposta

f(4)=390{,}625

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