Determine a derivada dy/dx. Em alguns casos, pode ser necessário usar derivação implícita ou derivação logaritmica.
y=\left(1+e^{-x}\right)^{4 / 5}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de y=(1+e^{-x})^{4/5}. O conteúdo é a aplicação da regra da cadeia e da regra da potência.

Passo 2

Definimos u=1+e^{-x}, escrevendo y=u^{4/5}. Pela regra da potência,
\frac{dy}{du} = \frac{4}{5}\,u^{-1/5}.

Passo 3

Derivamos u em relação a x:
\frac{du}{dx} = 0 + \frac{d}{dx}e^{-x} = -e^{-x}.

Passo 4

Pela regra da cadeia,
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\,\frac{du}{dx} = \frac{4}{5}\,u^{-1/5}\cdot(-e^{-x}).

Passo 5

Substituindo u=1+e^{-x}, obtemos
\frac{dy}{dx} = -\frac{4}{5}\,e^{-x}\,(1+e^{-x})^{-1/5}.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{4}{5}\,e^{-x}\,(1+e^{-x})^{-1/5}.

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