Determine a derivada dy/dx. Em alguns casos, pode ser necessário usar derivação implícita ou derivação logaritmica.
y=\frac{e^{3 x}}{e^{3 x}+2}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \frac{e^{3x}}{e^{3x} + 2}
ou seja, precisamos aplicar derivadas de funções exponenciais e a regra do quociente.

Passo 2

Definimos
u = e^{3x}, \quad v = e^{3x} + 2,
de modo que y = u/v.

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v:
u' = \frac{d}{dx}\bigl(e^{3x}\bigr) = 3e^{3x}, \quad v' = \frac{d}{dx}\bigl(e^{3x} + 2\bigr) = 3e^{3x}.

Passo 4

Aplicamos a regra do quociente:
y' = \frac{v\,u' - u\,v'}{v^2} = \frac{(e^{3x}+2)\cdot(3e^{3x}) \;-\; e^{3x}\cdot(3e^{3x})}{\bigl(e^{3x}+2\bigr)^2}.

Passo 5

Simplificamos o numerador:
(e^{3x}+2)\cdot3e^{3x} - e^{3x}\cdot3e^{3x} = 3e^{3x}\bigl(e^{3x}+2 - e^{3x}\bigr) = 3e^{3x}\cdot2 = 6e^{3x}.
Logo,
y' = \frac{6e^{3x}}{\bigl(e^{3x}+2\bigr)^2}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{6e^{3x}}{(e^{3x}+2)^2}.

Exercícios de Livros Relacionados