Determine a derivada dy/dx. Em alguns casos, pode ser necessário usar derivação implícita ou derivação logaritmica.
y=\ln \left(\frac{e^{3 x}}{1+x}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \ln\!\biggl(\frac{e^{3x}}{1+x}\biggr).
O conteúdo envolve propriedades de logaritmo e regras de derivação (derivada de e^{u}, derivada de \ln(v) e regra da cadeia).

Passo 2

Aplicamos a propriedade
\ln\!\biggl(\frac{A}{B}\biggr) = \ln(A) - \ln(B)
com A = e^{3x} e B = 1+x. Assim,
y = \ln\bigl(e^{3x}\bigr) - \ln(1+x).
Como \ln(e^{3x}) = 3x, fica
y = 3x - \ln(1+x).

Passo 3

Derivamos termo a termo:
  • A derivada de 3x em relação a x é 3.
  • A derivada de \ln(1+x) é \tfrac{1}{1+x} pela regra da cadeia.
    Logo,
\frac{dy}{dx} = 3 - \frac{1}{1+x}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = 3 - \frac{1}{1+x}.

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