Determine a derivada da função dada.
Nos Problemas 3 a 13, determine a derivada da função dada.
f(x)=\frac{(3 x+1)^{3}}{(1-3 x)^{4}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{(3x+1)^{3}}{(1-3x)^{4}}.
Para isso, vamos usar a regra do produto em conjunto com a regra da cadeia, reescrevendo a função como produto de potências.

Passo 2

Reescrevendo
f(x) = (3x+1)^{3}\,(1-3x)^{-4},
definimos
u(x) = (3x+1)^{3},\quad v(x) = (1-3x)^{-4}.
Pela regra da cadeia, para u(x)=(3x+1)^{3} temos
u'(x) = 3\,(3x+1)^{2}\cdot(3) = 9\,(3x+1)^{2}.
Para v(x)=(1-3x)^{-4} temos
v'(x) = -4\,(1-3x)^{-5}\cdot(-3) = 12\,(1-3x)^{-5}.

Passo 3

Aplicando a regra do produto f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x), obtemos
f'(x) =9\,(3x+1)^{2}\,(1-3x)^{-4} + (3x+1)^{3}\,12\,(1-3x)^{-5}.

Passo 4

Colocando fator comum (3x+1)^{2}(1-3x)^{-5}, fica
f'(x) =(3x+1)^{2}(1-3x)^{-5} \bigl[9\,(1-3x)+12\,(3x+1)\bigr].
No colchete
9\,(1-3x)+12\,(3x+1) =9-27x+36x+12 =9x+21 =3\,(3x+7).
Logo
f'(x) =3\,(3x+1)^{2}(3x+7)\,(1-3x)^{-5} =\frac{3\,(3x+1)^{2}(3x+7)}{(1-3x)^{5}}.

Resposta

f'(x)=\frac{3\,(3x+1)^{2}(3x+7)}{(1-3x)^{5}}.

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