Determine a derivada da função dada.
Nos Problemas 3 a 13, determine a derivada da função dada.
y=\sqrt{\frac{1-2 x}{3 x+2}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \sqrt{\frac{1 - 2x}{3x + 2}}.
Aqui vamos usar a regra da cadeia combinada com a regra do quociente, pois y é a função potência 1/2 aplicada ao quociente (1-2x)/(3x+2).

Passo 2

Reescrevendo em potências, temos
y = \biggl(\frac{u}{v}\biggr)^{\tfrac12}, \quad u = 1 - 2x, \quad v = 3x + 2.
Pela regra da cadeia e do quociente,
y' = \frac{1}{2}\biggl(\frac{u}{v}\biggr)^{-\tfrac12}\cdot\frac{u'v - u\,v'}{v^2}.

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v:
u' = \frac{d}{dx}(1 - 2x) = -2, \quad v' = \frac{d}{dx}(3x + 2) = 3.
Então o numerador fica
u'v - u\,v' = (-2)(3x+2) - (1-2x)(3) = -6x - 4 - 3 + 6x = -7.

Passo 4

Além disso,
\biggl(\frac{u}{v}\biggr)^{-\tfrac12} = \sqrt{\frac{v}{u}} = \sqrt{\frac{3x + 2}{1 - 2x}}.
Substituindo em y', obtemos
y' = \frac{1}{2}\,\sqrt{\frac{3x + 2}{1 - 2x}} \cdot\frac{-7}{(3x + 2)^2} = -\frac{7}{2}\,\frac{\sqrt{\tfrac{3x + 2}{1 - 2x}}}{(3x + 2)^2}.

Passo 5

Para simplificar, note que
\frac{\sqrt{3x + 2}}{(3x + 2)^2} = \frac{1}{(3x + 2)^{3/2}},
logo a forma mais enxuta é
y' = -\frac{7}{2\,(3x + 2)^{3/2}\,\sqrt{1 - 2x}}.

Resposta

\boxed{\,y' = -\frac{7}{2\,(3x + 2)^{3/2}\,\sqrt{1 - 2x}}\,.}

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