Determine a derivada segunda da função dada.
26. Determine a derivada segunda da função dada.
z=\frac{2}{1+x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a segunda derivada da função
z = \frac{2}{1+x^2}
O conteúdo é derivação de funções compostas, usando regra do poder e regra da cadeia.

Passo 2

Reescrevemos
z = 2\,(1+x^2)^{-1}
Para z', aplicamos a regra de potência e cadeia: a derivada de (1+x^2)^{-1} é -1\,(1+x^2)^{-2}\cdot2x. Logo,
z' = 2 \cdot \bigl(-1\bigr)\,(1+x^2)^{-2}\cdot2x = -4x\,(1+x^2)^{-2}.

Passo 3

Agora derivamos z' = -4x\,(1+x^2)^{-2} usando a regra do produto. Seja
u(x) = -4x,\quad v(x) = (1+x^2)^{-2}.
Então
u'(x) = -4,\qquad v'(x) = -2\,(1+x^2)^{-3}\cdot2x = -4x\,(1+x^2)^{-3}.
Pela regra do produto,
z'' = u'v + u\,v' = -4\,(1+x^2)^{-2} + \bigl(-4x\bigr)\bigl(-4x\,(1+x^2)^{-3}\bigr).

Passo 4

Simplificando:
z'' = -4\,(1+x^2)^{-2} + 16x^2\,(1+x^2)^{-3}.
Colocando em comum denominador (1+x^2)^3:
z'' = \frac{-4\,(1+x^2) + 16x^2}{(1+x^2)^3} = \frac{-4 -4x^2 +16x^2}{(1+x^2)^3} = \frac{12x^2 - 4}{(1+x^2)^3} = \frac{4\,(3x^2 - 1)}{(1+x^2)^3}.

Resposta

A segunda derivada da função é
z'' = \frac{4\,(3x^2 - 1)}{(1+x^2)^3}.

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