Use a regra da cadeia para determinar d y / d x para o valor dado de x.
24. Use a regra da cadeia para determinar d y / d x para o valor dado de x.
y=\left(\frac{u-1}{u+1}\right)^{1 / 2}, u=\sqrt{x-1} ; \operatorname{para} x=\frac{34}{9}

Passo 1

O enunciado nos dá as funções
y = \sqrt{\frac{u-1}{u+1}}, \quad u = \sqrt{x-1}
e pede \displaystyle \frac{dy}{dx} em x = \frac{34}{9}.
O conteúdo é a regra da cadeia, ou seja
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\,\frac{du}{dx}.

Passo 2

Vamos achar \displaystyle \frac{dy}{du}.
Como y = \bigl((u-1)/(u+1)\bigr)^{1/2}, pela derivada de potência e da razão temos
\frac{dy}{du} = \tfrac12\Bigl(\frac{u-1}{u+1}\Bigr)^{-\tfrac12} \cdot\frac{(u+1)\cdot1 - (u-1)\cdot1}{(u+1)^2} = \frac{1}{(u+1)^2}\Bigl(\frac{u-1}{u+1}\Bigr)^{-\tfrac12}\!.

Passo 3

Agora calculamos \displaystyle \frac{du}{dx}.
Como u = (x-1)^{1/2},
\frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x-1}} = \frac{1}{2u}.

Passo 4

Combinando,
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{(u+1)^2}\Bigl(\frac{u-1}{u+1}\Bigr)^{-\tfrac12} \cdot\frac{1}{2u}.

Passo 5

Avaliaremos em x = \tfrac{34}{9}.
Primeiro u = \sqrt{\tfrac{34}{9}-1} = \sqrt{\tfrac{25}{9}} = \tfrac{5}{3}.
Então
u+1 = \tfrac{5}{3}+1 = \tfrac{8}{3}, \quad \frac{u-1}{u+1} = \frac{\tfrac{2}{3}}{\tfrac{8}{3}} = \tfrac14, \quad \Bigl(\tfrac14\Bigr)^{-\tfrac12} = 2.
Substituindo em \frac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{(\tfrac{8}{3})^2}\cdot 2\cdot \frac{1}{2\cdot \tfrac{5}{3}} = \frac{9}{64}\cdot 2\cdot \frac{3}{10} = \frac{27}{320}.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}\Big|_{\,x=\tfrac{34}{9}} = \frac{27}{320}.

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