Determine a derivada segunda da função dada.
27. Determine a derivada segunda da função dada.
f(x)=\frac{x-1}{(x+1)^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x-1}{(x+1)^{2}}
e pede a segunda derivada f''(x). Vamos primeiro encontrar f'(x) usando a regra do quociente e depois obter f''(x) aplicando a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Definindo u(x)=x-1 e v(x)=(x+1)^{2}, a regra do quociente diz
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Como u'(x)=1 e v'(x)=2(x+1), temos
f'(x) =\frac{1\cdot(x+1)^{2}-(x-1)\cdot2(x+1)}{(x+1)^{4}}.

Passo 3

No numerador, fatoramos (x+1):
(x+1)^{2}-2(x-1)(x+1) =(x+1)\bigl[(x+1)-2(x-1)\bigr] =(x+1)\bigl[x+1-2x+2\bigr] =(x+1)(3-x).
Logo,
f'(x)=\frac{(x+1)(3-x)}{(x+1)^{4}} =\frac{3-x}{(x+1)^{3}}.

Passo 4

Para obter f''(x), reescrevemos
f'(x)=(3-x)\,(x+1)^{-3}
e aplicamos a regra do produto junto com a regra da cadeia:
f''(x) =\frac{d}{dx}\bigl(3-x\bigr)\cdot(x+1)^{-3} +(3-x)\cdot\frac{d}{dx}(x+1)^{-3}.
Como \frac{d}{dx}(3-x)=-1 e \frac{d}{dx}(x+1)^{-3}=-3(x+1)^{-4}, resulta
f''(x) =-1\cdot(x+1)^{-3} +(3-x)\bigl[-3(x+1)^{-4}\bigr].

Passo 5

Colocando tudo sobre o mesmo denominador (x+1)^{4}:
f''(x) =\frac{-(x+1)-3(3-x)}{(x+1)^{4}} =\frac{-x-1-9+3x}{(x+1)^{4}} =\frac{2x-10}{(x+1)^{4}} =\frac{2(x-5)}{(x+1)^{4}}.

Resposta

f''(x)=\frac{2(x-5)}{(x+1)^{4}}.

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