Uma placa de metal está situada no plano
e ocupa o retângulo
, onde
e
são medidos em metros. A temperatura no ponto
do plano é
, onde
é medido em graus Celsius. Temperaturas em pontos igualmente espaçados foram medidas e registradas na tabela.
(a) Estime o valor das derivadas parciais
e
. Quais são as unidades?
(b) Estime o valor de
, onde
. Interprete o resultado.
(c) Estime o valor de
.
0
2
4
6
8
0
30
38
45
51
55
2
52
56
60
62
61
4
78
74
72
68
66
6
98
87
80
75
71
8
96
90
86
80
75
10
92
92
91
87
78
(a) Estime o valor das derivadas parciais
(b) Estime o valor de
(c) Estime o valor de
|
|
0 | 2 | 4 | 6 | 8 |
| 0 | 30 | 38 | 45 | 51 | 55 |
| 2 | 52 | 56 | 60 | 62 | 61 |
| 4 | 78 | 74 | 72 | 68 | 66 |
| 6 | 98 | 87 | 80 | 75 | 71 |
| 8 | 96 | 90 | 86 | 80 | 75 |
| 10 | 92 | 92 | 91 | 87 | 78 |
Passo 1
O enunciado dá uma placa no retângulo
,
com temperatura tabelada em malha de
m. Pede-se:
– (a) as derivadas parciais e
,
– (b) o derivada direcional em
,
– (c) o misto .
Vamos usar diferenças finitas centrais para aproximar essas derivadas.
– (a) as derivadas parciais
– (b) o derivada direcional
– (c) o misto
Vamos usar diferenças finitas centrais para aproximar essas derivadas.
Passo 2
Estimativa de
Passo 3
Estimativa de
Passo 4
Derivada direcional em
:
Isto significa que, movendo-se na direção
, a temperatura aumenta cerca de
°C por metro.
Passo 5
Para
calculamos primeiro
Logo
Resposta
(a)
°C/m,
°C/m.
(b) °C/m (temperatura aumenta nessa direção a
C por metro).
(c) °C/
.
(b)
(c)