Uma placa de metal está situada no plano x y e ocupa o retângulo 0 \leq x \leq 10,0 \leq y \leq 8, onde x e y são medidos em metros. A temperatura no ponto (x, y) do plano é T(x, y), onde T é medido em graus Celsius. Temperaturas em pontos igualmente espaçados foram medidas e registradas na tabela.
(a) Estime o valor das derivadas parciais T_{x}(6,4) e T_{y}(6,4). Quais são as unidades?
(b) Estime o valor de D_{\mathbf{u}} T(6,4), onde \mathbf{u}=(\mathbf{i}+\mathbf{j}) / \sqrt{2}. Interprete o resultado.
(c) Estime o valor de T_{x y}(6,4).
x-y 0 2 4 6 8
0 30 38 45 51 55
2 52 56 60 62 61
4 78 74 72 68 66
6 98 87 80 75 71
8 96 90 86 80 75
10 92 92 91 87 78

Passo 1

O enunciado dá uma placa no retângulo 0\le x\le10, 0\le y\le8 com temperatura tabelada em malha de 2 m. Pede-se:
– (a) as derivadas parciais T_x(6,4) e T_y(6,4),
– (b) o derivada direcional D_{\mathbf u}T(6,4) em \mathbf u=(\mathbf i+\mathbf j)/\sqrt2,
– (c) o misto T_{xy}(6,4).
Vamos usar diferenças finitas centrais para aproximar essas derivadas.

Passo 2

Estimativa de
T_x(6,4)\approx \frac{T(8,4)-T(4,4)}{8-4} =\frac{86-72}{4} =3{,}5.

Passo 3

Estimativa de
T_y(6,4)\approx \frac{T(6,6)-T(6,2)}{6-2} =\frac{75-87}{4} =-3.

Passo 4

Derivada direcional em \mathbf u:
D_{\mathbf u}T(6,4) = T_x(6,4)\frac1{\sqrt2}+T_y(6,4)\frac1{\sqrt2} = \frac{3{,}5 +(-3)}{\sqrt2} = \frac{0{,}5}{\sqrt2} \approx 0{,}35.
Isto significa que, movendo-se na direção \mathbf u, a temperatura aumenta cerca de 0{,}35 °C por metro.

Passo 5

Para T_{xy}(6,4) calculamos primeiro
T_x(6,6)\approx \frac{T(8,6)-T(4,6)}{4} =\frac{80-68}{4} =3, \quad T_x(6,2)\approx \frac{T(8,2)-T(4,2)}{4} =\frac{90-74}{4} =4.
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T_{xy}(6,4)\approx \frac{T_x(6,6)-T_x(6,2)}{6-2} =\frac{3-4}{4} =-0{,}25.

Resposta

(a) T_x(6,4)\approx 3{,}5 °C/m, T_y(6,4)\approx -3 °C/m.
(b) D_{\mathbf u}T(6,4)\approx 0{,}35 °C/m (temperatura aumenta nessa direção a 0,35\circC por metro).
(c) T_{xy}(6,4)\approx -0{,}25 °C/ m^{2}.

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