Determine a diagonal maior de um paralelogramo, em que dois de seus lados consecutivos formam um ângulo de 45^circ e medem respectivamente 5 raiz2 cm e 10 cm .

Passo 1

O enunciado dá um paralelogramo cujos lados consecutivos medem ,5raiz2,cm e ,10,cm e formam um ângulo de ,45^circ. Queremos achar a diagonal de maior comprimento. O conteúdo principal aqui é usar a ideia de soma de vetores (ou, equivalente, a lei dos cossenos) para diagonais de um paralelogramo.

Passo 2

Sejam a e b os vetores que representam esses dois lados. A diagonal maior corresponde ao vetor
d = a + b
e seu comprimento ao módulo |d|.

Passo 3

Pela expansão do quadrado do módulo, equivalente à lei dos cossenos, temos
|d|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2,|a|,|b|costheta
Substituindo |a|=5raiz2, |b|=10 e theta=45^circ (com cos45^circ=tfracraiz22), vem
|d|^2 = (5raiz2)^2 + 10^2 + 2,(5raiz2),(10),raiz22 = 50 + 100 + 2cdot5raiz2cdot10cdotraiz22

Passo 4

Calculemos o termo misto:
2cdot5raiz2cdot10cdotraiz22 = 5raiz2cdot10cdotraiz2 = 50cdot2 =100
Logo
|d|^2 = 50 + 100 + 100 = 250,
e então
|d| = raiz250 = 5raiz10

Resposta

A diagonal maior mede 5raiz10,cm.

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