Determine a distância de um plano secante ao centro de uma esfera, sabendo que a maior calota determinada por esse plano tem área igual à média geométrica entre a área da menor calota e a área da esfera na qual estão contidas as calotas.
Passo 1
No enunciado temos uma esfera de raio
e um plano que a corta, gerando duas calotas: uma maior e outra menor. Sabemos que a área da calota maior é igual à média geométrica entre a área da calota menor e a área da esfera. Vamos usar a fórmula da área de calota esférica e a definição de média geométrica para achar a distância
desse plano ao centro da esfera.
Passo 2
Seja o plano posicionado a uma distância
do centro da esfera. A altura da calota menor (do lado mais próximo ao centro) é
e a altura da calota maior (a outra parte) é
As áreas são
e a área da esfera inteira é
Passo 3
A condição de que a área da calota maior é a média geométrica entre a da calota menor e a da esfera é
Substituindo:
Passo 4
Vamos simplificar a equação acima. Primeiro, expandindo o lado esquerdo e dividindo ambos os lados por
:
Então
e passando tudo para o mesmo lado:
Passo 5
Resolvendo a equação quadrática em
usando a fórmula de Bhaskara:
Como
é distância positiva, ficamos com
Resposta
A distância do plano ao centro da esfera é