Determine a distância de um plano secante ao centro de uma esfera, sabendo que a maior calota determinada por esse plano tem área igual à média geométrica entre a área da menor calota e a área da esfera na qual estão contidas as calotas.

Passo 1

No enunciado temos uma esfera de raio R e um plano que a corta, gerando duas calotas: uma maior e outra menor. Sabemos que a área da calota maior é igual à média geométrica entre a área da calota menor e a área da esfera. Vamos usar a fórmula da área de calota esférica e a definição de média geométrica para achar a distância d desse plano ao centro da esfera.

Passo 2

Seja o plano posicionado a uma distância d do centro da esfera. A altura da calota menor (do lado mais próximo ao centro) é
hmenor = R - d,
e a altura da calota maior (a outra parte) é
hmaior = R + d
As áreas são
Amenor = 2pi R,hmenor = 2pi R (R - d),
Amaior = 2pi R,hmaior = 2pi R (R + d),
e a área da esfera inteira é
Aesfera = 4pi R^2

Passo 3

A condição de que a área da calota maior é a média geométrica entre a da calota menor e a da esfera é
Amaior^2 = Amenor cdot Aesfera
Substituindo:
l(2pi R (R+d)r)^2 = l(2pi R (R-d)r),l(4pi R^2r)

Passo 4

Vamos simplificar a equação acima. Primeiro, expandindo o lado esquerdo e dividindo ambos os lados por 4pi^2R^2:
(R+d)^2 = 2R (R-d)
Então
R^2 + 2Rd + d^2 = 2R^2 - 2Rd
e passando tudo para o mesmo lado:
d^2 + 4Rd - R^2 = 0

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática em d usando a fórmula de Bhaskara:
d = -4R pm raiz(4R)^2 + 4R^22 = -4R pm 2raiz5R2 = -2R pm raiz5R
Como d é distância positiva, ficamos com
d = R(raiz5 - 2)

Resposta

A distância do plano ao centro da esfera é
d = R(raiz5 - 2)

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