Determine a distância do vértice de um cone a um plano que o secciona paralelamente à base, sabendo que o raio do cone mede
, sua geratriz g e que a seção obtida é equivalente à área lateral do tronco de cone formado.
Passo 1
O enunciado dá um cone reto de raio da base
e geratriz
. Uma seção paralela à base, a uma distância
do vértice, produz um círculo de raio
e deixa abaixo dela um tronco de cone cuja área lateral queremos igualar à área desse círculo. Para resolver, vamos usar:
- semelhança de triângulos para relacionar
e ; - fórmula da área lateral de cone e de tronco de cone;
- equacionar área do círculo com área lateral do tronco e resolver para
.
Passo 2
Antes de tudo, encontramos a altura
do cone completo a partir de Pitágoras no triângulo que liga raio, altura e geratriz:
Passo 3
Pela semelhança entre o triângulo gerado pelo eixo e a geratriz e o triângulo menor acima da seção, o raio
da seção a
do vértice satisfaz
Passo 4
A área do círculo de raio
é
Passo 5
A área lateral do tronco formado entre a seção e a base é a área lateral do cone total menos a área lateral do cone de vértice até a seção. A área lateral de um cone de raio
e geratriz
é
. No nosso caso:
- cone total:
, - cone pequeno acima da seção: raio
e geratriz , então
Logo a área do tronco é
Passo 6
Impondo que a área do círculo seja igual à área lateral do tronco, temos
Cancelando
e dividindo por
,
Colocando
, vem
Passo 7
Daí
e finalmente