Determine a distância do vértice de um cone a um plano que o secciona paralelamente à base, sabendo que o raio do cone mede r, sua geratriz g e que a seção obtida é equivalente à área lateral do tronco de cone formado.

Passo 1

O enunciado dá um cone reto de raio da base r e geratriz g. Uma seção paralela à base, a uma distância x do vértice, produz um círculo de raio rho e deixa abaixo dela um tronco de cone cuja área lateral queremos igualar à área desse círculo. Para resolver, vamos usar:
  1. semelhança de triângulos para relacionar rho e x;
  2. fórmula da área lateral de cone e de tronco de cone;
  3. equacionar área do círculo com área lateral do tronco e resolver para x.

Passo 2

Antes de tudo, encontramos a altura H do cone completo a partir de Pitágoras no triângulo que liga raio, altura e geratriz:
H = raizg^2 - r^2

Passo 3

Pela semelhança entre o triângulo gerado pelo eixo e a geratriz e o triângulo menor acima da seção, o raio rho da seção a x do vértice satisfaz
rhox = rH Longrightarrow rho = rH,x

Passo 4

A área do círculo de raio rho é
Acírculo = pi,rho^2 = pi;r^2H^2;x^2 í

Passo 5

A área lateral do tronco formado entre a seção e a base é a área lateral do cone total menos a área lateral do cone de vértice até a seção. A área lateral de um cone de raio a e geratriz s é pi a s. No nosso caso:
  • cone total: pi,r,g,
  • cone pequeno acima da seção: raio rho e geratriz s = raizx^2+rho^2 = gH,x, então
Apequeno = pi,rho,s = pi,rHx;cdot;gHx = pi,r gH^2;x^2
Logo a área do tronco é
Atronco = pi,r,g ;-;pi,r gH^2,x^2 = pi,r,gl(1 - x^2H^2r)

Passo 6

Impondo que a área do círculo seja igual à área lateral do tronco, temos
pi,r^2H^2,x^2 = pi,r,gl(1 - x^2H^2r)
Cancelando pi e dividindo por r,
rH^2,x^2 = gl(1 - x^2H^2r)
Colocando t = x^2/H^2, vem
r,t = g,(1 - t) Longrightarrow t = gr+g Longrightarrow x^2H^2 = gr+g

Passo 7

Daí
x^2 = H^2,gr+g = (g^2 - r^2),gr+g = g,(g^2 - r^2),1r+g = g,(g - r),
e finalmente
x = raizg,(g - r)

Resposta

boxedx = raiz,g,l(g - rr),

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