Dados os lados a e b das bases quadradas de um tronco de pirâmide, determine a altura do tronco, considerado regular, de modo que a área lateral seja igual à soma das áreas das bases.

Passo 1

O enunciado dá um tronco de pirâmide regular cujas bases são quadrados de lados a e b, e pede a altura h de modo que a área lateral seja igual à soma das áreas das duas bases. Vamos usar:
  • Fórmula da área lateral do tronco regular de pirâmide.
  • Fórmula da soma das áreas das bases.
  • Relação entre altura lateral (ou geratriz) e a altura h.

Passo 2

Cada face lateral é um trapézio com bases a e b e “altura” igual à geratriz s. A área de um trapézio é base maior+base menor2timesa<ura, então cada face tem área
a+b2,s
e como há 4 faces, a área lateral total é
Área lateral = 4cdota+b2,s = 2(a+b),s Á

Passo 3

A soma das áreas das bases é simplesmente
Área das bases = a^2 + b^2 Á

Passo 4

Como queremos área lateral = soma das áreas das bases, impomos
2(a+b),s = a^2 + b^2
de onde
s = a^2 + b^22(a+b)

Passo 5

Na pirâmide regular, a geratriz s está relacionada à altura h pela relação do triângulo retângulo que tem catetos h e tfraca-b2:
s^2 = h^2 + l(tfraca-b2r)^2
Substituindo o valor de s obtemos
h^2 + l(tfraca-b2r)^2 = l(tfraca^2 + b^22(a+b)r)^2

Passo 6

Isolando h^2:
h^2 = l(tfraca^2 + b^22(a+b)r)^2 - l(tfraca-b2r)^2
Note que
(a^2 + b^2)^2 - (a^2 - b^2)^2 = 4a^2b^2,
e (a^2 - b^2) = (a-b)(a+b). Ao colocar tudo sobre o mesmo denominador 4(a+b)^2, achamos
h^2 = 4a^2b^24(a+b)^2 = a^2b^2(a+b)^2,
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h = aba+b

Resposta

h = aba+b

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