O volume de um tronco de pirâmide hexagonal regular de bases paralelas é igual a 40 m^3. Sua altura mede 3 m e a área da base maior 20 m^2. Calcule a relação que existe entre os lados dos hexágonos das bases.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um tronco de pirâmide de bases hexagonais regulares, altura 3, volume 40 e área da base maior 20. Queremos a relação entre os lados dos hexágonos das duas bases. Vamos usar a fórmula do volume de um tronco de pirâmide e a fórmula da área de um hexágono regular.

Passo 2

O volume de um tronco de pirâmide é
V = h3l(B + raizB,b + br),
onde B é a área da base maior e b a da base menor. Substituindo V=40, h=3 e B=20 obtemos
40 = 33l(20 + raiz20,b + br) ;Longrightarrow; 20 = raiz20,b + b

Passo 3

Para resolver raiz20,b+b-20=0 fazemos x=raizb, logo b=x^2 e raiz20,b=2raiz5,x. A equação vira
x^2 + 2raiz5,x - 20 = 0
A solução positiva é
x = 5 - raiz5,
ou seja raizb=5-raiz5.

Passo 4

A área de um hexágono regular de lado s é
3raiz32,s^2
Para a base maior temos
20 = 3raiz32,s1^2,
e para a base menor
b = 3raiz32,s2^2
Dividindo,
s2^2s1^2 = b20 Longrightarrow s2s1 = raizb20

Passo 5

Como raizb=5-raiz5, temos
s2s1 = 5-raiz5raiz20 = 5-raiz52raiz5 = raiz5-12

Resposta

A razão entre o lado da base menor e o lado da base maior é
smenorsmaior = raiz5 - 12

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