Um plano paralelo à base de um cone, de geratriz g e raio de base
, secciona-o. Sabendo que a área da base do cone obtido é média geométrica entre as duas partes em que fica dividida a superfície lateral do cone, determine a distância do vértice do cone a esse plano.
Passo 1
O enunciado trata de um cone reto de raio da base
e geratriz
. Um plano paralelo à base corta o cone, gerando um “pequeno” cone no vértice com raio
, geratriz
e altura
. Foi dado que a área da base desse pequeno cone,
é a média geométrica entre as áreas das duas porções em que a superfície lateral original (área total
) fica dividida:
- área da parte lateral do pequeno cone:
, - área da parte lateral do tronco:
.
Precisaremos usar
- semelhança de triângulos para relacionar
com , - fórmula da área lateral de cone/tronco,
- condição de média geométrica e resolver para
, - extrair a altura
, que é a distância pedida do vértice ao plano.
Passo 2
Pela semelhança entre triângulo gerador do cone original e do pequeno temos
onde
é a altura do cone original e satisfaz
. Dessas razões tiramos
Passo 3
A condição da média geométrica é
Cancelando
e elevando ao quadrado:
Passo 4
Substituindo
e
em
, vem
Divide por
e rearranja:
Passo 5
Agora
e usamos
para achar
:
Logo
Esse é o comprimento da altura do pequeno cone, ou seja, a distância do vértice ao plano.