Um plano paralelo à base de um cone, de geratriz g e raio de base r, secciona-o. Sabendo que a área da base do cone obtido é média geométrica entre as duas partes em que fica dividida a superfície lateral do cone, determine a distância do vértice do cone a esse plano.

Passo 1

O enunciado trata de um cone reto de raio da base r e geratriz g. Um plano paralelo à base corta o cone, gerando um “pequeno” cone no vértice com raio r1, geratriz g1 e altura h1. Foi dado que a área da base desse pequeno cone,
pi r1^2,
é a média geométrica entre as áreas das duas porções em que a superfície lateral original (área total pi r,g) fica dividida:
  • área da parte lateral do pequeno cone: pi r1,g1,
  • área da parte lateral do tronco: pi (r + r1),(g - g1).
Precisaremos usar
  1. semelhança de triângulos para relacionar (r1,g1,h1) com (r,g,h),
  2. fórmula da área lateral de cone/tronco,
  3. condição de média geométrica e resolver para r1,
  4. extrair a altura h1, que é a distância pedida do vértice ao plano.

Passo 2

Pela semelhança entre triângulo gerador do cone original e do pequeno temos
r1r ;=;g1g;=;h1h,
onde h é a altura do cone original e satisfaz h=raizg^2 - r^2. Dessas razões tiramos
g1 = g,r1r, g - g1 = g - g,r1r = g,(r - r1)r

Passo 3

A condição da média geométrica é
pi,r1^2 ;=;raizl(pi,r1,g1r),l(pi,(r + r1),(g - g1)r) =pi,raizr1,g1,(r + r1),(g - g1)
Cancelando pi e elevando ao quadrado:
r1^4 = r1,g1,(r + r1),(g - g1) ;Longrightarrow; r1^3 = g1,(r + r1),(g - g1)

Passo 4

Substituindo g1 = tfracg,r1r e g - g1 = tfracg,(r - r1)r em r1^3 = g1,(r + r1),(g - g1), vem
r1^3 = g,r1r,l(r + r1r),g,(r - r1)r = g^2,r1,(r^2 - r1^2)r^2
Divide por r1 e rearranja:
r1^2 = g^2,(r^2 - r1^2)r^2 ;Longrightarrow; r^2,r1^2 = g^2,r^2 - g^2,r1^2 ;Longrightarrow; r1^2,(r^2 + g^2) = g^2,r^2 ;Longrightarrow; r1^2 = g^2,r^2r^2 + g^2

Passo 5

Agora g1 = tfracg,r1r e usamos g1^2 = r1^2 + h1^2 para achar h1:
g1^2 = g^4r^2 + g^2, r1^2 = g^2,r^2r^2 + g^2 ;Longrightarrow; h1^2 = g1^2 - r1^2 = g^4 - g^2,r^2r^2 + g^2 = g^2,(g^2 - r^2)r^2 + g^2
Logo
h1 = g,raizg^2 - r^2raizr^2 + g^2
Esse é o comprimento da altura do pequeno cone, ou seja, a distância do vértice ao plano.

Resposta

boxed g,raizg^2 - r^2raizr^2 + g^2

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