Secciona-se uma pirâmide PABCDE por um plano paralelo à base, determinando o pentágono MNORS. Sendo PA e PM, respectivamente, 15 m e 10 m e a superfície ABCDE, 375 cm^2, calcule a área do pentágono MNQRS.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma pirâmide PABCDE cuja base ABCDE é um pentágono de área ,375 cm ^2. Um plano paralelo à base corta as arestas da pirâmide e determina o pentágono MNQRS sobre as arestas PA,PB,PC,PD,PE. Sabe-se que PA=15 m e PM=10 m, ou seja, o ponto M está a ,10/15 da altura total medida a partir do vértice P. Para resolver, precisamos usar o fato de que um corte paralelo à base gera uma figura semelhante à base, com razão linear igual à razão das distâncias ao vértice.

Passo 2

Calculemos a razão linear k entre o pentágono de seção e o pentágono da base. Como o corte está a PM=10 m do vértice e a altura total é PA=15 m, temos
k = PMPA = 1015 = 23

Passo 3

Em geometria de sólidos, o corte de uma pirâmide por um plano paralelo à base produz uma seção cuja semelhança com a base é governada pela razão linear k. Daí, a razão de áreas entre a seção e a base é
k^2 = l(tfrac23r)^2 = 49

Passo 4

Aplicando essa razão de áreas à área da base, obtemos a área do pentágono MNQRS:
área(MNQRS) = k^2 times área(ABCDE) = 49 times 375 = 4 times 3759 = 15009 = 5003 approx 166,67 cm^2 áá

Resposta

5003 cm ^2 (aproximadamente 166,67 cm ^2).

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