Determine o domínio e trace o gráfico das funções.
f(x)=log (1-x)

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos o domínio e esboçarmos o gráfico da função
f(x)=log(1-x)
O conteúdo é o estudo de domínio de uma função logarítmica e a análise de forma da curva (assíntotas, monotonicidade e interceptos).

Passo 2

Para achar o domínio de f, precisamos que o argumento do logaritmo seja positivo:
1 - x > 0
Resolvendo, obtemos
x < 1
Portanto o domínio é
,x in R mid x<1 = (-infty,1)

Passo 3

Agora, analisamos as características do gráfico:
  1. Assíntota vertical: quando x to 1^-, 1-x to 0^+ e log(1-x)to -infty. Logo há assíntota vertical em x=1.
  2. Comportamento em -infty: quando xto -infty, 1-xto +infty e log(1-x)to +infty.
  3. Intercepto com o eixo x: fazemos log(1-x)=0Rightarrow1-x=1Rightarrow x=0. Assim o gráfico passa por (0,0).
  4. Monotonicidade: f'(x)=ddxlog(1-x)=-11-x<0para x<1, logo f é estritamente decrescente em todo o domínio.

Passo 4

Com essas informações, o esboço é uma curva que:
  • Cresce para +infty conforme xto -infty.
  • Passa por (0,0).
  • Cai continuamente e se aproxima de -infty ao se aproximar de x=1 pela esquerda.
  • Tem assíntota vertical em x=1.

Resposta

Domínio: (-infty,1).
Gráfico: curva decrescente que passa por (0,0), tende a +infty quando xto -infty e tem assíntota vertical em x=1, onde f(x)to -infty.

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