Determine a equação da reta que pertence ao feixe definido pela equação:
(2 x+3 y-15)+k cdot(5 x-2 y+29)=0
e que passa pela origem do sistema cartesiano.

Passo 1

O enunciado dá um feixe de retas definido por
(2x+3y-15)+k(5x-2y+29)=0
e pede a equação da reta desse feixe que passa pela origem (0,0). O conteúdo aqui é geometria analítica: identificar o parâmetro k de modo que a reta contenha um ponto dado e, em seguida, simplificar a equação.

Passo 2

Para a reta pertencer ao feixe e passar por (0,0), basta substituir x=0 e y=0 na equação geral e exigir que ela seja satisfeita. Assim,
(2cdot0+3cdot0-15)+k,(5cdot0-2cdot0+29)=0
vira
-15 + 29k = 0
de onde
29k = 15 Longrightarrow k = 1529

Passo 3

Substituindo k=tfrac1529 na equação do feixe e multiplicando ambos os lados por 29 para eliminar o denominador, temos
29,(2x+3y-15) + 15,(5x-2y+29)=0
Desenvolvendo,
58x + 87y -435 +75x -30y +435 =0
(58+75)x + (87-30)y =0
133x + 57y = 0
Como gcd(133,57)=19, dividimos ambos os coeficientes por 19 para simplificar:
7x + 3y = 0

Resposta

A equação da reta é
7x + 3y = 0

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