Determine a equação da reta tangente à curva dada no ponto especificado.
(1-x+y)^{3}=x+7 ;(1,2)

Passo 1

O enunciado nos dá a curva implícita
(1 - x + y)^3 = x + 7
e pede a reta tangente no ponto (1,2). O conteúdo envolvido é diferenciação implícita para encontrar \frac{dy}{dx} e, em seguida, usar a forma ponto-coeficiente da reta.

Passo 2

Definimos
u = 1 - x + y,
assim a equação vira
u^3 = x + 7.
Diferenciando ambos os lados em relação a x e aplicando regra da cadeia, obtemos
3u^2 \,\frac{du}{dx} = 1.
Como
\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(1 - x + y) = -1 + \frac{dy}{dx},
substituímos na equação anterior:
3u^2\bigl(-1 + \tfrac{dy}{dx}\bigr) = 1 \quad\Longrightarrow\quad -1 + \frac{dy}{dx} = \frac{1}{3u^2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = 1 + \frac{1}{3u^2}.

Passo 3

No ponto (1,2) temos
u = 1 - 1 + 2 = 2.
Logo o coeficiente angular da reta tangente é
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(1,2)} = 1 + \frac{1}{3\cdot 2^2} = 1 + \frac{1}{12} = \frac{13}{12}.

Passo 4

Usando a forma ponto-coeficiente da reta com coeficiente \tfrac{13}{12} e ponto (1,2), escrevemos
y - 2 = \frac{13}{12}\,(x - 1).

Resposta

y - 2 = \frac{13}{12}\,(x - 1).

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