Determine a equação da reta tangente à curva da função dada no ponto especificado.
Nos Problemas 14 a 17, determine a equação da reta tangente à curva da função dada no ponto especificado.
f(x)=\frac{4}{x-3} ; x=1

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva de
f(x)=\frac{4}{x-3}
no ponto em que x=1. Para isso, precisamos de dois ingredientes: o valor da função em x=1 e a derivada f'(x) avaliada em x=1.

Passo 2

Calculamos o valor da função em x=1:
f(1)=\frac{4}{1-3}=\frac{4}{-2}=-2.

Passo 3

Agora obtemos a derivada de f. Como f(x)=4\,(x-3)^{-1}, vale
f'(x)=-4\,(x-3)^{-2}=-\frac{4}{(x-3)^2}.
Logo
f'(1)=-\frac{4}{(1-3)^2}=-\frac{4}{4}=-1.

Passo 4

A equação da reta tangente à curva em (x_0,y_0)=(1,-2) com declive m=f'(1)=-1 vem de
y - y_0 = m\,(x - x_0).
Substituindo,
y - (-2)=-1\,(x - 1) \quad\Longrightarrow\quad y+2=-x+1 \quad\Longrightarrow\quad y=-x-1.

Resposta

A reta tangente é
y=-x-1.

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