Determine a equação da reta tangente à curva da função y=f(x) no ponto especificado.
f(x)=x^{2} \ln \sqrt{x}; em que x=1

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à curva de y=f(x) no ponto em que x=1. Para isso, precisamos:
  1. Calcular f(1) para achar o ponto de tangência.
  2. Calcular f'(1) para obter a inclinação da reta tangente.
    O conteúdo envolve derivada de função produto e derivada de logaritmo.

Passo 2

Primeiro, simplificamos f(x) usando
\ln\sqrt{x} = \tfrac12\ln x
Logo,
f(x) = x^{2}\,\ln\sqrt{x} = \tfrac12\,x^{2}\ln x.

Passo 3

Agora calculamos a derivada f'(x). Tirando o fator constante \tfrac12 e aplicando a regra do produto em x^{2}\ln x:
f'(x) = \tfrac12\,\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\ln x\bigr).
Pela regra do produto,
\frac{d}{dx}(x^{2}\ln x) = x^{2}\cdot\frac{1}{x} + \ln x\cdot 2x = x + 2x\ln x.
Portanto,
f'(x) = \tfrac12\,(x + 2x\ln x) = \tfrac{x}{2} + x\ln x.

Passo 4

Calculamos o valor de f em x=1:
f(1) = 1^{2}\ln\sqrt{1} = \ln1 = 0.
O ponto de tangência é \bigl(1,0\bigr).

Passo 5

Calculamos a inclinação em x=1:
f'(1) = \tfrac{1}{2} + 1\cdot\ln1 = \tfrac12 + 0 = \tfrac12.

Passo 6

A equação da reta tangente em forma ponto-inclinação é
y - y_{0} = m\,(x - x_{0}),
onde (x_{0},y_{0})=(1,0) e m=\tfrac12. Assim,
y - 0 = \tfrac12\,(x - 1)
e simplificando,
y = \tfrac12 x - \tfrac12.

Resposta

y = \tfrac12 x - \tfrac12

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