Determine as equações das perpendiculares à reta r : 3 x+4 y-1=0, as quais estão à distância 4 unidades do ponto P(2,0).

Passo 1

O enunciado pede as equações das retas perpendiculares à reta
r: 3x + 4y - 1 = 0
e que estejam à distância 4 unidades do ponto P(2,0).
Conteúdo: declividade (inclinação) de retas perpendiculares e fórmula da distância de um ponto a uma reta.

Passo 2

A inclinação de r é obtida escrevendo-se em forma y=mx+b:
3x+4y-1=0 ;Longrightarrow; y=-tfrac34x+tfrac14,
logo mr=-tfrac34. Qualquer reta perpendicular a r terá inclinação
mperp=-tfrac1mr=tfrac43
Em forma geral podemos escrever essas retas como
4x - 3y + C = 0,
pois isso dá y=tfrac43x + tfracC3.

Passo 3

Aplicamos a fórmula da distância de um ponto (x0,y0) à reta Ax+By+C=0:
d = l|A x0 + B y0 + Cr|raizA^2 + B^2
Aqui (x0,y0)=(2,0), A=4, B=-3. Queremos d=4, logo
4 ;=;l|4cdot2 +(-3)cdot0 + Cr|raiz4^2+(-3)^2 =|8 + C|5

Passo 4

Resolvendo
|8 + C|5=4 Longrightarrow |8 + C|=20 Longrightarrow 8 + C = pm 20,
daí
C = 12 ou C = -28

Resposta

As equações procuradas são
4x - 3y + 12 = 0 e 4x - 3y - 28 = 0

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