Represente graficamente os pontos do plano que satisfazem simultaneamente as inequações x-3 y <= 0 e 3 x+y >= 0.

Passo 1

O enunciado pede para representar no plano o conjunto dos pontos (x,y) que satisfazem simultaneamente as inequações lineares
x - 3y <= 0 e 3x + y >= 0
O conteúdo envolvido é o de metades de plano definidas por inequações lineares e sua interseção.

Passo 2

Reescrevemos cada inequação em forma de “declive– intercepto” ( y = mx + b):
x - 3y <= 0 ;Longrightarrow; -3y <= -x ;Longrightarrow; y >= tfracx3,
3x + y >= 0 ;Longrightarrow; y >= -3x
Cada inequação determina um meio– plano:
y >= tfracx3 é o meio– plano acima (ou sobre) a reta y = tfracx3;
y >= -3x é o meio– plano acima (ou sobre) a reta y = -3x.

Passo 3

Para cada reta, traçamos a linha sólida e sombreia\textshy mos a região correspondente:
1. Reta y = tfracx3: passa pela origem e tem declive m = tfrac13. Sombreia\textshy mos para cima.
2. Reta y = -3x: passa pela origem e tem declive m = -3. Sombreia\textshy mos para cima.
Como ambas passam pela origem, as linhas formam um “V” que se abre para cima.

Passo 4

A região solução é a interseção dos dois meios-planos, ou seja, o “bico” do “V” aberto para cima entre as retas y=tfracx3 (mais suave) e y=-3x (mais íngreme). Um ponto teste, como a origem (0,0), satisfaz 0>=0 em ambas, confirmando que a região de cima do “V” inclui a origem.

Resposta

O conjunto solução é
(x,y)mid y>= tfracx3 e y>= -3x,
isto é, a região formada pela interseção dos dois meios-planos acima das retas y=tfracx3 e y=-3x, com ambas as fronteiras incluídas.

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