5.2.9 Determine a faixa de convergência para a série hipergeométrica de Gauss
Sugestão: Gauss desenvolveu seu teste para a finalidade específica de estabelecer a convergência dessa série.
Passo 1
O enunciado nos dá a série hipergeométrica de Gauss
onde
é o símbolo de Pochhammer. Precisamos determinar para quais valores de
essa série é convergente, usando o teste de razão (Gauss).
Passo 2
Definindo
aplicamos o teste da razão:
Quando
,
logo
Pelo teste da razão, a série converge se
. Portanto o raio de convergência é
, ou seja, converge para
Passo 3
Agora analisamos os extremos
e
. Em ambos os casos o termo geral em módulo é
Para estudar a convergência desse termo na forma de série positiva, usamos o teste refinado de Gauss (ou Raabe–Duhamel), que envolve
O teste de Gauss diz que a série
convergirá se
mas como há o fator
no denominador, a condição exata torna-se
Assim, em
a série converge se, e somente se,
Resposta
A série hipergeométrica de Gauss converge para
e nos pontos de fronteira
converge desde que