5.2.9 Determine a faixa de convergência para a série hipergeométrica de Gauss
F(\alpha, \beta, \gamma ; x)=1+\frac{\alpha \beta}{1!\gamma} x+\frac{\alpha(\alpha+1) \beta(\beta+1)}{2!\gamma(\gamma+1)} x^{2}+\cdots .
Sugestão: Gauss desenvolveu seu teste para a finalidade específica de estabelecer a convergência dessa série.
\text { Resposta: Convergente para }-1<x<1 \text { e } x= \pm 1 \text { se } \gamma>\alpha+\beta \text {. }

Passo 1

O enunciado nos dá a série hipergeométrica de Gauss
F(\alpha,\beta,\gamma;x) =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\alpha)_n\,(\beta)_n}{n!\,(\gamma)_n}\,x^n
onde (q)_n=q\,(q+1)\cdots(q+n-1) é o símbolo de Pochhammer. Precisamos determinar para quais valores de x essa série é convergente, usando o teste de razão (Gauss).

Passo 2

Definindo
a_n=\frac{(\alpha)_n\,(\beta)_n}{n!\,(\gamma)_n}\,x^n,
aplicamos o teste da razão:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =|x|\;\frac{(\alpha+n)(\beta+n)}{(n+1)(\gamma+n)}.
Quando n\to\infty,
\frac{(\alpha+n)(\beta+n)}{(n+1)(\gamma+n)} \longrightarrow 1,
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\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x|.
Pelo teste da razão, a série converge se |x|<1. Portanto o raio de convergência é R=1, ou seja, converge para
-1<x<1.

Passo 3

Agora analisamos os extremos x=1 e x=-1. Em ambos os casos o termo geral em módulo é
\bigl|a_n\bigr| =\frac{(\alpha)_n\,(\beta)_n}{n!\,(\gamma)_n}.
Para estudar a convergência desse termo na forma de série positiva, usamos o teste refinado de Gauss (ou Raabe–Duhamel), que envolve
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{(\alpha+n)(\beta+n)}{(n+1)(\gamma+n)} =1-\frac{\gamma-\alpha-\beta-1}{n}+O\!\bigl(n^{-2}\bigr).
O teste de Gauss diz que a série \sum a_n convergirá se
\gamma-\alpha-\beta-1>0 \quad\Longleftrightarrow\quad \gamma>\alpha+\beta+1,
mas como há o fator (n+1) no denominador, a condição exata torna-se
\gamma>\alpha+\beta.
Assim, em x=\pm1 a série converge se, e somente se,
\gamma>\alpha+\beta.

Resposta

A série hipergeométrica de Gauss converge para
-1<x<1
e nos pontos de fronteira x=\pm1 converge desde que
\gamma>\alpha+\beta.

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