5.2.22 A constante de Catalan ( \beta(2) de M. Abramowitz e I. A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (AMS-55), Wash, D. C. National Bureau of Standards (1972); nova tiragem Dover (1974), Capítulo 23) é definida por
\beta(2)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}(2 k+1)^{-2}=\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{5^{2}} \cdots
Calcule \beta(2) com seis dígitos de precisão.
Sugestão: A taxa de convergência é realçada formando pares dos termos:
(4 k-1)^{-2}-(4 k+1)^{-2}=\frac{16 k}{\left(16 k^{2}-1\right)^{2}}
Se você usou dígitos suficientes em sua soma de série, \sum_{1 \leq k \leq N} 16 k /\left(16 k^{2}-1\right)^{2}, números significativos adicionais podem ser obtidos estabelecendo limites superiores e inferiores na cauda da série, \sum_{k=N+1}^{\infty}. Esses limites podem ser estabelecidos por comparação com integrais, como no teste da integral de Maclaurin.
Resposta: \beta(2)=0,915965594177 \ldots

Passo 1

O enunciado define a constante de Catalan
\beta(2)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}(2k+1)^{-2} =\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{5^{2}}-\cdots
e pede seis dígitos de precisão. Para acelerar a convergência, vamos agrupar termos em pares sugeridos e usar o teste da integral de Maclaurin para estimar o erro da cauda.

Passo 2

Separe o primeiro termo e agrupe, para k\ge1,
-\frac{1}{(4k-1)^2}+\frac{1}{(4k+1)^2} =-\Bigl((4k-1)^{-2}-(4k+1)^{-2}\Bigr).
Note que
(4k-1)^{-2}-(4k+1)^{-2} =\frac{(4k+1)^2-(4k-1)^2}{(4k-1)^2(4k+1)^2} =\frac{16k}{\bigl(16k^2-1\bigr)^2}.

Passo 3

Portanto
\beta(2) =1+\sum_{k=1}^{\infty}\Bigl(-\frac{1}{(4k-1)^2}+\frac{1}{(4k+1)^2}\Bigr) =1-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{16k}{\bigl(16k^2-1\bigr)^2}.
Definimos a soma parcial
S_N=\sum_{k=1}^{N}\frac{16k}{\bigl(16k^2-1\bigr)^2} \qquad\text{e a cauda}\qquad R_N=\sum_{k=N+1}^{\infty}\frac{16k}{\bigl(16k^2-1\bigr)^2},
de modo que
\beta(2)=1 - S_N - R_N.

Passo 4

Para estimar R_N, note que para k\ge1
\frac{16k}{\bigl(16k^2-1\bigr)^2} <\frac{16k}{(16k^2)^2} =\frac{1}{16\,k^3}.
Pelo teste da integral,
R_N<\sum_{k=N+1}^{\infty}\frac{1}{16\,k^3} <\int_{N}^{\infty}\frac{dx}{16\,x^3} =\frac{1}{32\,N^2}.
Para garantir erro menor que meio último dígito na 6ª casa decimal, queremos
R_N<5\times10^{-7} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{32\,N^2}<5\times10^{-7} \quad\Longrightarrow\quad N>250{,}55.
Assim tomamos N=251.

Passo 5

Calculando numericamente
S_{251} =\sum_{k=1}^{251}\frac{16k}{\bigl(16k^2-1\bigr)^2} \approx0,084034405823,
e como R_{251}<5\times10^{-7}, segue
\beta(2) =1 - S_{251} \pm R_{251} \approx1 - 0,084034405823 =0,915965594177\pm0,0000005.

Resposta

\beta(2)\approx0,915966

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