5.2.22 A constante de Catalan (
de M. Abramowitz e I. A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (AMS-55), Wash, D. C. National Bureau of Standards (1972); nova tiragem Dover (1974), Capítulo 23) é definida por
Calcule
com seis dígitos de precisão.
Sugestão: A taxa de convergência é realçada formando pares dos termos:
Se você usou dígitos suficientes em sua soma de série,
, números significativos adicionais podem ser obtidos estabelecendo limites superiores e inferiores na cauda da série,
. Esses limites podem ser estabelecidos por comparação com integrais, como no teste da integral de Maclaurin.
Resposta:
Sugestão: A taxa de convergência é realçada formando pares dos termos:
Passo 1
O enunciado define a constante de Catalan
e pede seis dígitos de precisão. Para acelerar a convergência, vamos agrupar termos em pares sugeridos e usar o teste da integral de Maclaurin para estimar o erro da cauda.
Passo 2
Separe o primeiro termo e agrupe, para
,
Note que
Passo 3
Portanto
Definimos a soma parcial
de modo que
Passo 4
Para estimar
, note que para
Pelo teste da integral,
Para garantir erro menor que meio último dígito na
ª casa decimal, queremos
Assim tomamos
.
Passo 5
Calculando numericamente
e como
, segue