com 0\le x\le1, p>0 e q>0. Precisamos testar a convergência dessa série em termos de x (especialmente em x=1) usando critérios de séries de potências e, no caso x=1, um teste assintótico de p-série.
Passo 2
Aplicamos o teste da razão à parte interna da soma. Seja
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\frac{(n+1-q)}{n+1}\;\frac{1}{p+n+1}\;(p+n)\;x \longrightarrow x \quad\text{quando }n\to\infty.
Como esse limite vale \lvert x\rvert, concluímos que o raio de convergência é R=1.
Passo 3
Do teste da razão obtemos que a série converge absolutamente para \lvert x\rvert<1. Em particular, para todo 0\le x<1 ela converge sem restrições adicionais sobre p e q (além de p>0, q>0).
Passo 4
Em x=1 o teste da razão dá limite igual a 1, inconclusivo. Para essa borda analisamos o termo geral assintótico. Usamos a identidade
Como q>0 implica q+1>1, a série em n comporta-se como uma p-série de expoente maior que 1 e portanto converge.
Passo 5
Concluímos que a expansão converge para todo 0\le x\le1. Em particular, em x=1 a soma é finita e de fato recupera a beta completa:
B_{1}(p,q)=B(p,q).
Resposta
A série converge absolutamente para \lvert x\rvert<1 e também converge em x=1 (já que o termo geral é \sim n^{-(q+1)} com q+1>1). Em x=1 seu valor coincide com a beta completa B(p,q).
Cálculo - George Arfken - Métodos Matemáticos para Engenharia e Física - 7ª Edição - Capítulo 5.2 - Ex. 5.2.18