5.2.18 Uma expansão de série da função beta incompleta (Seção 8.4) resulta em
\begin{aligned} B_{x}(p, q)= & x^{p}\left\{\frac{1}{p}+\frac{1-q}{p+1} x+\frac{(1-q)(2-q)}{2!(p+2)} x^{2}+\cdots\right. \\\ & \left.+\frac{(1-q)(2-q) \cdots(n-q)}{n!(p+n)} x^{n}+\cdots\right\} \end{aligned}
Dado que 0 \leq x \leq 1, p>0 e q>0, teste essa série para convergência. O que acontece em x=1 ?

Passo 1

O enunciado apresenta a expansão em série da função beta incompleta
B_{x}(p,q)=x^{p}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(1-q)(2-q)\cdots(n-q)}{n!\,(p+n)}\,x^{n}
com 0\le x\le1, p>0 e q>0. Precisamos testar a convergência dessa série em termos de x (especialmente em x=1) usando critérios de séries de potências e, no caso x=1, um teste assintótico de p-série.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão à parte interna da soma. Seja
a_{n}=\frac{(1-q)(2-q)\cdots(n-q)}{n!\,(p+n)}\,x^{n}.
Então
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\frac{(n+1-q)}{n+1}\;\frac{1}{p+n+1}\;(p+n)\;x \longrightarrow x \quad\text{quando }n\to\infty.
Como esse limite vale \lvert x\rvert, concluímos que o raio de convergência é R=1.

Passo 3

Do teste da razão obtemos que a série converge absolutamente para \lvert x\rvert<1. Em particular, para todo 0\le x<1 ela converge sem restrições adicionais sobre p e q (além de p>0, q>0).

Passo 4

Em x=1 o teste da razão dá limite igual a 1, inconclusivo. Para essa borda analisamos o termo geral assintótico. Usamos a identidade
\frac{(1-q)(2-q)\cdots(n-q)}{n!} =\frac{\Gamma(n+1-q)}{\Gamma(1-q)\,n!} \sim\frac{n^{-q}}{\Gamma(1-q)} \quad(n\to\infty).
Logo
a_{n}\bigl|_{x=1} \sim\frac{n^{-q}}{\Gamma(1-q)}\;\frac{1}{p+n} \sim\frac{1}{\Gamma(1-q)}\,n^{-(q+1)}.
Como q>0 implica q+1>1, a série em n comporta-se como uma p-série de expoente maior que 1 e portanto converge.

Passo 5

Concluímos que a expansão converge para todo 0\le x\le1. Em particular, em x=1 a soma é finita e de fato recupera a beta completa:
B_{1}(p,q)=B(p,q).

Resposta

A série converge absolutamente para \lvert x\rvert<1 e também converge em x=1 (já que o termo geral é \sim n^{-(q+1)} com q+1>1). Em x=1 seu valor coincide com a beta completa B(p,q).

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