5.2.1 Esses dois testes, conhecidos como testes de limites, costumam ser convenientes para estabelecer a convergência de uma série. Eles podem ser tratados como testes de comparação, comparando com
\sum_{n} n^{-q}, \quad 1 \leq q<p .
Passo 1
O enunciado nos dá uma sequência (u_n) tal que
\lim_{n\to\infty}n\,u_n = A>0,
e pede para mostrar que a série \sum_{n=1}^{\infty}u_n diverge.
Conteúdo: teste de comparação por limite com a série harmônica \sum n^{-1}, que sabemos que diverge.
Passo 2
Pela definição de limite, como \lim_{n\to\infty}n\,u_n = A com A>0, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n>N,
Mas a série harmônica \sum_{n=1}^{\infty}n^{-1} diverge, logo também diverge \sum_{n=N+1}^{\infty}n^{-1}. Como \tfrac{A}{2}>0, o segundo termo é infinito, fazendo com que \sum u_n seja divergente.
Resposta
A série \sum_{n=1}^{\infty}u_n diverge.
Cálculo - George Arfken - Métodos Matemáticos para Engenharia e Física - 7ª Edição - Capítulo 5.2 - Ex. 5.2.1.b