Prove que, se
\lim _{n \rightarrow \infty} n u_{n}=A>0,
a série diverge. ( O teste falha para A=0.)
5.2.1 Esses dois testes, conhecidos como testes de limites, costumam ser convenientes para estabelecer a convergência de uma série. Eles podem ser tratados como testes de comparação, comparando com
\sum_{n} n^{-q}, \quad 1 \leq q<p .

Passo 1

O enunciado nos dá uma sequência (u_n) tal que
\lim_{n\to\infty}n\,u_n = A>0,
e pede para mostrar que a série \sum_{n=1}^{\infty}u_n diverge.
Conteúdo: teste de comparação por limite com a série harmônica \sum n^{-1}, que sabemos que diverge.

Passo 2

Pela definição de limite, como \lim_{n\to\infty}n\,u_n = A com A>0, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n>N,
\bigl|n\,u_n - A\bigr| < \frac{A}{2}.
Isso implica
n\,u_n > A - \frac{A}{2} = \frac{A}{2} \quad\Longrightarrow\quad u_n > \frac{A}{2}\,\frac1n,
para todo n>N.

Passo 3

A partir da desigualdade u_n > \tfrac{A}{2}\,n^{-1} para n>N, temos
\sum_{n=1}^{\infty}u_n \;=\; \sum_{n=1}^{N}u_n \;+\; \sum_{n=N+1}^{\infty}u_n \;>\; \sum_{n=1}^{N}u_n \;+\; \frac{A}{2}\sum_{n=N+1}^{\infty}\frac1n.
Mas a série harmônica \sum_{n=1}^{\infty}n^{-1} diverge, logo também diverge \sum_{n=N+1}^{\infty}n^{-1}. Como \tfrac{A}{2}>0, o segundo termo é infinito, fazendo com que \sum u_n seja divergente.

Resposta

A série \sum_{n=1}^{\infty}u_n diverge.

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